1 . 已知正项数列的前项和为，且.
(1)求和的值，并求出数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)设，求的值（其中表示不超过的最大整数）.

2 . 已知函数．
(1)求函数在上的值域；
(2)若方程有两个不相等的解，且，求证：．

3 . 已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.

4 . 已知函数，存在，使得成立.给出下列四个结论:
①当时，;                                        ②当时，;
③当时，;                                 ④当时，.
其中所有正确结论的序号是________________.

5 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)，，求的最小值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.

6 . 已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．

8 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．

(1)求数列的通项公式；
(2)证明：当时，
(3)若数列满足，对于，证明：．

10 . 已知，．当时，若关于x的方程存在两个正实数根，，证明：，且．