1 . 已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时．
（i）求证：函数在上单调递增；
（ii）设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．

2 . 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．

3 . 设函数（e为自然对数的底数），函数与函数的图象关于直线对称．
(1)设函数，若时，恒成立，求m的取值范围；
(2)证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数．

4 . 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
(1)证明：存在源数列；
(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.

5 . 若定义在区间上的函数，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数为区间上的“曲折函数”，“现已知函数.
(1)证明：是上的“曲折函数”；
(2)设，证明：，使得对于，均有.

6 . 已知实数，，．
(1)求；
(2)若对一切成立，求的最小值；
(3)证明：当正整数时，．

7 . 已知函数，
(1)证明：；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)设，证明：函数存在唯一的极大值点，且.

8 . 已知函数满足恒成立.
(1)求的取值范围；
(2)设，求在上的零点个数；
(3)在（2）的条件下，设在上最小的零点为，若且，求证：.

9 . 函数．

(1)求证：；
(2)若方程恰有两个根，求证：．

10 . 已知.
(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；
(2)若，设，证明：
①存在，使得成立；
②.