1 . 已知函数，其中．
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）求证：．

2 . 已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．

3 . 已知函数，.
(1)若方程在区间上恰有两个不同的实根，求实数的最大值；
(2)当时，判断函数与的图象是否存在公切线? 若存在，请判断有几条公切线，并写出其中一条公切线的方程；若不存在，请说明理由.

5 . 已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

6 . 已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，
①证明：；
②方程有两个实根，且，求证：.

7 . 若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是______．

8 . 已知函数，，若关于x的方程在区间上恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______.

9 . 已知函数（，e为自然对数的底数）．
(1)求函数的极值；
(2)若方程在区间内有两个不相等的实数根，证明：．