名校
解题方法
1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
；②两角和公式：
，③导数：
定义双曲正弦函数
．
(1)直接写出
，
具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当
时，双曲正弦函数
的图像总在直线
的上方，求直线斜率
的取值范围；
(3)无穷数列
满足
，
，是否存在实数
，使得
？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数．(1)直接写出
，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当
时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围；(3)无穷数列
满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
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2023高三上·全国·专题练习
2 . 记锐角
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为
，已知
，
． 证明：
．
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知，． 证明：．
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2024·全国·模拟预测
3 . 美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的The Mathematical Universe一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（
为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（ ）
为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2023·全国·模拟预测
4 . 如图，已知四棱锥
的底面是菱形，
平面
为线段
的中点，
为线段
的中点，点
在线段上，且满足
．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求二面角
的正弦值．
的底面是菱形，平面为线段的中点，为线段的中点，点在线段上，且满足．(1)求证：
平面；(2)若
，求二面角的正弦值．
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名校
5 . 如图，在四棱锥中，底面是一个边长为
的菱形，且
，侧面
是正三角形.
(1)求证：
；
(2)若平面
平面，求平面与平面
所成角的正弦值.
中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形. (1)求证：
；(2)若平面
平面，求平面与平面所成角的正弦值.
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2023-07-28更新
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447次组卷
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3卷引用：四川省宜宾市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题
四川省宜宾市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题（已下线）模块一 专题2 利用空间向量解决立体几何问题 （讲）2 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高二人教A版黑龙江省大庆市肇州县第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
6 . 如图，在长方体
中，
、分别是棱
、
上的点，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的平面角的正弦值.
中，、分别是棱、上的点，，. (1)证明：
平面；(2)求二面角
的平面角的正弦值.
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2023-07-02更新
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165次组卷
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2卷引用：4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系(第1课时) 同步练习-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册
7 . 已知锐角中，
，
(1)求证：
；
(2)设
，求AB边上的高.
中，，(1)求证：
；(2)设
，求AB边上的高.
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2023-10-27更新
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1004次组卷
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18卷引用：沪教版 高一年级第二学期 领航者 第五章 5.7 复习与小结（1）
沪教版 高一年级第二学期 领航者 第五章 5.7 复习与小结（1）人教B版(2019) 必修第四册 逆袭之路 第九章 解三角形 本章小结上海市交通大学附属中学嘉定分校2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第三章 三角 二、三角式的化简与求值上海交通大学附属中学嘉定分校2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第5讲+解三角形（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）沪教版(2020) 必修第二册 领航者 第6章三角 复习与小结（1）（已下线）第九章 解三角形 本章小结沪教版(2020) 必修第二册 领航者 一课一练 第6章 复习与小结(1)2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷Ⅱ）2004年普通高等学枚招生考试数学（文）试题（全国卷II）人教B版（2019）必修第四册课本习题第九章本章小结广东省广州市执信中学2024届高三上学期第二次月考数学试题（已下线）大招2 高线法2014-2015学年安徽省潜山县黄铺中学高一下学期期中考试数学试卷新疆伊宁市第三中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）第11章 解三角形 章末题型归纳总结（2）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）
名校
解题方法
8 . 已知的内角A，
，
的对边分别为，
，，
，
.
(1)若
，证明：
；
(2)若边上的高为
，求的周长.
的内角A，，的对边分别为，，，，.(1)若
，证明：；(2)若
边上的高为，求的周长.
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22-23高一下·浙江绍兴·期末
9 . 为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，
，
，点E为BC上一点，且
，过点D作
于点F，设
，
.
(1)利用图中边长关系
，证明：
；
(2)若
，求
.
，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，. (1)利用图中边长关系
，证明：；(2)若
，求.
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2023·福建莆田·模拟预测
10 . 如图，在三棱锥
中，
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面所成角的余弦值．
中，，，，. (1)证明：
平面；(2)求直线
与平面所成角的余弦值．
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