1 . 在中，内角的对边分别为，已知
(1)求角；
(2)已知，点是边上的两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值:
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图:




它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．

2 . 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为

(1)若．求证：
①；
②为等边三角形．
(2)若求证：．

3 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值.

4 . 某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为.

   

(1)设的长为米，用表示；
(2)求扶梯的长；
(3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长.

5 . 用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.
(1)，求的长；
(2)在中，若是钝角，求证：；
(3)给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.

6 . 记的内角，，所对的边分别为，，.已知向量，.
(1)设单位向量，若与共线，且，求；
(2)当时：
（i）若，求；
（ii）求的最小值.

7 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
(1)若，
①求；
②若，设点为的费马点，求；
(2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值．

8 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．

9 . 某小区拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.

   

(1)请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？
(2)设，求的取值范围.

10 . 已知函数，且在区间上的最大值为．
(1)求的值；
(2)已知为锐角三角形，分别是角所对的边，若，且，求的周长的取值范围．