1 . 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km.

(1)求的长度；
(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？

2 . 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.

3 . 如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向千米处．

（1）在道路处有一个巡更点P，且P、C两点间的距离为1千米，求的距离；
（2）保安甲从值班室C出发沿前往值班室A，保安乙从值班室A出发沿前往值班室B，若甲乙同时出发且保持匀速行走，其中甲的速度为4千米/小时，其中乙的速度为3千米/小时，期间甲乙两人配有最大通话距离为3千米（含3千米）的对讲机，试问两人在巡逻过程中不能保持通话的时间长为多久？

4 . 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.

（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；
（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.

5 . 如图，在中，，是边上一点，，，，则________.

6 . 如图，某广场中间有一块扇形绿地，其中为扇形所在圆的圆心，半径为，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧上选一点，过修建与平行的小路，与平行的小路，设．

当时，求；
当取何值时，才能使得修建的道路与的总长最大？并求出的最大值．