1 . 如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是________．

   

2 . 已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为______．

3 . 已知非零向量，满足，且，则的最大值为__________.

4 . 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如下图所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为2，点P在圆O上运动，则的最小值为______.

5 . 如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为__________．

6 . 已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为______．

7 . 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______.

8 . 定义：在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若为双纽线上任意一点，则的最大值为__________.

9 . 已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为______.

10 . 已知为正方体表面上的动点，若，则当取最小值时，______.