1 . 已知集合,其中且,,若对任意的,都有,则称集合A具有性质.
(1)集合具有性质,求m的最小值;
(2)已知A具有性质,求证:;
(3)已知A具有性质,求集合中元素个数的最大值,并说明理由.
(1)集合具有性质,求m的最小值;
(2)已知A具有性质,求证:;
(3)已知A具有性质,求集合中元素个数的最大值,并说明理由.
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2 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
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3 . 约数,又称因数.它的定义如下:若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称为的倍数,称为的约数.设正整数共有个正约数,记为,,…,,().
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若,,…,构成等比数列,求证:;
(3)记,求证:.
(1)当时,若正整数的个正约数构成等比数列,请写出一个的值;
(2)当时,若,,…,构成等比数列,求证:;
(3)记,求证:.
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4 . 已知数列满足,且,若,则( )
A.253 | B.506 | C.1012 | D.2024 |
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5 . 已知n为正整数,且,则( )
A. | B. | C. | D. |
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6 . 已知数列和等差数列的前n项和分别为,,且,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
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7 . 已知数列的通项公式(),则的最小值为______ .
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8 . 已知正项数列的前项和为,且.
(1)证明:是单调递减数列.
(2)求数列的前项和.
(1)证明:是单调递减数列.
(2)求数列的前项和.
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9 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
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10 . 已知正项数列,满足(其中).
(1)若,且,证明:数列和均为等比数列;
(2)若,以为三角形三边长构造序列(其中),记外接圆的面积为,证明:;
(3)在(2)的条件下证明:数列是递减数列.
(1)若,且,证明:数列和均为等比数列;
(2)若,以为三角形三边长构造序列(其中),记外接圆的面积为,证明:;
(3)在(2)的条件下证明:数列是递减数列.
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