1 . 设数列的前项和为，已知，且．
(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．

2 . 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.

3 . 已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.

6 . 已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，.

(1)写出数列前4项的所有可能取法；
(2)判断：是否存在正整数，满足，并说明理由；
(3)为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值.

7 . 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，（e是自然对数的底数）
(1)解方程：；
(2)写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：_________，并证明；
(3)无穷数列，是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

9 . 已知无穷数列{a_n}，对于m∈N^*，若{a_n}同时满足以下三个条件，则称数列{a_n}具有性质P(m)．
条件①：a_n＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得a_n≤T（n＝1，2，…）；
条件③：a_n＋a_n+1＝ma_n＋2（n＝1，2，…）．
（1）若a_n＝5＋4（n＝1，2，…），且数列{a_n}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；
（2）是否存在具有性质P（1）的数列{a_n}？若存在，求数列{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{a_n}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{a_n}的通项公式．

10 . 已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的，都有，数列各项都是正整数，，，且数列，，，…，是等比数列.
（1）求，；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）求满足的最小正整数n．