1 . 已知数列的前项和满足；数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记数列，，求；
(3)记数列，求证：．

2 . 已知是等比数列，是等差数列，且，
(1)求和的通项公式；
(2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前项和；
(3)设数列的通项公式为：，，求．

3 . 正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（       ）

A．3991

B．3993

C．3994

D．3997

4 . 已知数列是等差数列，其前n项和公式为，数列是等比数列，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和，求证：
(3)令，求数列的前n项和；

5 . 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)设，记，证明：当时，．

6 . 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式.
(2)已知，求数列的前2n项和.
(3)求证：.

7 . 等差数列的前项和为，且.数列的前项和为，且（为常数）.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求.

8 . 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和；
(3)记，求数列的前项和.

9 . 设正项数列满足，且.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和.

10 . 设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．