1 . 已知数列
为等差数列，设其公差为
，数列
满足
（
为正整数）.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若
，
，求数列的通项公式.
为等差数列，设其公差为，数列满足（为正整数）.(1)求证：数列
为等比数列；(2)若
，，求数列的通项公式.
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2 . 已知数列的前项和
.
(1)求数列的通项公式
；
(2)求数列
的前项和
.
的前项和.(1)求数列
的通项公式；(2)求数列
的前项和.
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3 . 公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正
边形
，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为
.通过计算容易得到:
（其中
是正边形的一条边所对圆心角的一半）
(1)求的通项公式;
(2)求证:对于任意正整数
依次成等差数列;
(3)试问对任意正整数
是否能构成等比数列?说明你的理由.
值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.通过计算容易得到:（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半）(1)求
的通项公式;(2)求证:对于任意正整数
依次成等差数列;(3)试问对任意正整数
是否能构成等比数列?说明你的理由.
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2023-07-21更新
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310次组卷
|
3卷引用：上海师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题
4 . （1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为
，当
时，试求符合条件的的个数.
（2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的
倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的
倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由.
，当时，试求符合条件的的个数.（2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的
倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由.
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5 . 设等差数列的前项和为
，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)若
，数列的前项和为，若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，问是否存在正整数
，使得
成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组
；若不存在，请说明理由．
的前项和为，且．(1)求数列
的通项公式；(2)若
，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由．
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6 . 已知
，
，记
，其中
表示
这个数中最大的数.
(1)求
的值；
(2)证明：
是等差数列.
，，记，其中表示这个数中最大的数.(1)求
的值；(2)证明：
是等差数列.
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7 . 已知等差数列，是数列的前项和，且
，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最大值，并求取最大值时的值.
，是数列的前项和，且，.(1)求数列
的通项公式；(2)求
的最大值，并求取最大值时的值.
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8 . 设数列为等差数列，已知
，
，
(1)求；
(2)设
，求
的值.
为等差数列，已知，，(1)求
；(2)设
，求的值.
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9 . 公元2232年6月1日，潜伏期长达十年的病毒，终于在某百万人口城市
爆发了.现已知：6月1日前市未发现该病毒感染者，6月1日当天发现20人发病，该病毒经传染后发生异变，具有传染隐蔽，潜伏期短，致病快等特点.
(1)若不采取防范措施，该病毒以每天增长50%的速度扩散（即第二天的新感染人数是前一天病人总数的
），假设此病患者在这一个月内没有病愈及死亡情况，不考虑人口的流动，试计算该城市在哪一天（几月几号）全民患病（该市人口按1百万计算）？
(2)显然，此役情发生后不久，注意到它的传染性，人们都会注意隔离防护，已确诊患者被医院收治后，也不易传染他人，这样每天的新感染者不是以等比数列增长.现假设每天新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.经过全体医务人员的努力，该市医疗部门找到有效措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到6月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人.问6月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.
爆发了.现已知：6月1日前市未发现该病毒感染者，6月1日当天发现20人发病，该病毒经传染后发生异变，具有传染隐蔽，潜伏期短，致病快等特点.(1)若不采取防范措施，该病毒以每天增长50%的速度扩散（即第二天的新感染人数是前一天病人总数的
），假设此病患者在这一个月内没有病愈及死亡情况，不考虑人口的流动，试计算该城市在哪一天（几月几号）全民患病（该市人口按1百万计算）？(2)显然，此役情发生后不久，注意到它的传染性，人们都会注意隔离防护，已确诊患者被医院收治后，也不易传染他人，这样每天的新感染者不是以等比数列增长.现假设每天新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.经过全体医务人员的努力，该市医疗部门找到有效措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到6月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人.问6月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.
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10 . 已知等比数列的公比
，
，且
、
、
成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，求数列的前项和，并求出的最大值.
的公比，，且、、成等差数列.(1)求数列
的通项公式；(2)设
，求数列的前项和，并求出的最大值.
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