名校
解题方法
1 . 已知
为有穷正整数数列，且
，集合
．若存在
，使得
，则称
为
可表数，称集合
为可表集．
(1)若
，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；
(2)若
，证明：
；
(3)设
，若
，求
的最小值．
为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．(1)若
，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；(2)若
，证明：；(3)设
，若，求的最小值．
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2024-01-20更新
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1298次组卷
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5卷引用：北京市昌平区2024届高三上学期期末质量抽测数学试题
23-24高三上·上海青浦·期中
解题方法
2 . 已知函数
，对于数列
，若
，则称
为函数的“生成数列”，
为函数的一个“源数列”.
(1)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求
；
(2)已知
为函数的“源数列”，求证：对任意正整数
，均有
；
(3)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列
，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.(1)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；(2)已知
为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；(3)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
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名校
解题方法
3 . 设集合
，其中
.若集合
满足对于任意的两个非空集合
，都有集合
的所有元素之和与集合
的元素之和不相等，则称集合具有性质
.
(1)判断集合
是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合
具有性质，求证：
；
(3)若集合
具有性质，求
的最大值.
，其中.若集合满足对于任意的两个非空集合，都有集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.(1)判断集合
是否具有性质，并说明理由；(2)若集合
具有性质，求证：；(3)若集合
具有性质，求的最大值.
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解题方法
4 . 已知数列
和
满足
．
(1)证明：
；
(2)是否存在
，使得数列
是等比数列？说明理由．
和满足．(1)证明：
；(2)是否存在
，使得数列是等比数列？说明理由．
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5 . 设数列的前项和为
．若对任意的正整数，总存在正整数
，使得
，则称是“
数列”．
(1)若数列
，
，判断和是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项
，公差
．若是“数列”，求
的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得
成立．
的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．(1)若数列
，，判断和是否是“数列”；(2)设
是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；(3)证明：对任意的等差数列
，总存在两个“数列”和，使得成立．
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2023-12-25更新
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708次组卷
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4卷引用：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2024届高三上学期12月练习数学试题
6 . 对于数集
（
为给定的正整数），其中
，如果对任意
，都存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(2)若X具有性质P，求证：
；且若
成立，则
；
(3)若X具有性质P，且
，求数列
的通项公式．
（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称X具有性质P．(1)若
，且集合具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：
；且若成立，则；(3)若X具有性质P，且
，求数列的通项公式．
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7 . 已知为等差数列，为其前项和．若
，设
．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设
，求数列的前项和
．
为等差数列，为其前项和．若，设．(1)求证：数列
是等比数列；(2)设
，求数列的前项和．
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解题方法
8 . 对于数列，若满足
（
，p是与n无关的常数），则称数列是“比等差数列”，常数p称为此数列的“比差”．
(1)已知数列
，
，判断数列，是否为“比等差数列”；
(2)证明“比差”为零的“比等差数列”一定是等比数列；
(3)“比差”为正的“比等差数列”是否一定是递增数列？如果是，给出证明；如果不是，请举出反例．
，若满足（，p是与n无关的常数），则称数列是“比等差数列”，常数p称为此数列的“比差”．(1)已知数列
，，判断数列，是否为“比等差数列”；(2)证明“比差”为零的“比等差数列”一定是等比数列；
(3)“比差”为正的“比等差数列”是否一定是递增数列？如果是，给出证明；如果不是，请举出反例．
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9 . 已知数列满足
，且
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为
①若
，
，
成等比数列，求正整数的值；
②数列
的前项和为，证明
．
满足，且(1)求数列
的通项公式；(2)记数列
的前项和为①若
，，成等比数列，求正整数的值；②数列
的前项和为，证明．
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名校
10 . 设数列{
}的前项和为，且满足
.
(1)求证数列{}是等比数列；
(2)数列
满足
，且
.
（i）求数列的通项公式；
（ii）若不等式
对
恒成立，求实数λ的取值范围.
}的前项和为，且满足.(1)求证数列{
}是等比数列；(2)数列
满足，且.（i）求数列
的通项公式；（ii）若不等式
对恒成立，求实数λ的取值范围.
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