1 . 已知
是无穷数列，对于k，
，给出三个性质：
①
（
）；
②
（）；
③
（）
(1)当
时，若
（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出
的值；
(2)若
和
时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
(3)当，
时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．
是无穷数列，对于k，，给出三个性质：①
（）；②
（）；③
（）(1)当
时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；(2)若
和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；(3)当
，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．
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2024-03-12更新
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368次组卷
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2卷引用：北京市平谷区2023-2024学年高三下学期质量监控（零模）数学试卷
2 . 已知
是由正整数组成的无穷数列，该数列前
项的最大值记为
，最小值记为
，令
，并将数列
称为的“生成数列”．
(1)若
，求数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为
，求证：
；
(3)若是等比数列，证明：存在正整数
，当
时，
是等比数列．
是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．(1)若
，求数列的前项和；(2)设数列
的“生成数列”为，求证：；(3)若
是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
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3 . 设数列的首项
，
，
，
，
，
．
（Ⅰ）若
，写出
，
，
的值．
（Ⅱ）求证：
是等比数列，并求的通项公式．
（Ⅲ）设
，证明
，其中为正整数．
的首项，，，，，． （Ⅰ）若
，写出，，的值．（Ⅱ）求证：
是等比数列，并求的通项公式．（Ⅲ）设
，证明，其中为正整数．
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4 . 已知数列为等差数列，
，
，数列
满足
，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列
是等比数列；
(3)设
，求数列
的前项和
.
为等差数列，，，数列满足，.(1)求数列
的通项公式；(2)求证：数列
是等比数列；(3)设
，求数列的前项和.
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23-24高三上·上海青浦·期中
解题方法
5 . 已知函数
，对于数列
，若
，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.
(1)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求
；
(2)已知
为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有
；
(3)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”.(1)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，求；(2)已知
为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；(3)已知
为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
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23-24高三上·辽宁·开学考试
解题方法
6 . 踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为
；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，
，
；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为
，
，
，
，已知
.
(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为
，求的分布列；
(2)证明
为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与
的大小.
；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知.(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为
，求的分布列；(2)证明
为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小.
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名校
解题方法
7 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数
除以整数
得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有
个正约数，即为
，，，
，
．
(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当
时，若
，
，，
构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记
，求证：
．
除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当
时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；(3)记
，求证：．
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8 . 对于数集
（
为给定的正整数），其中
，如果对任意
，都存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(2)若X具有性质P，求证：
；且若
成立，则
；
(3)若X具有性质P，且
，求数列
的通项公式．
（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称X具有性质P．(1)若
，且集合具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：
；且若成立，则；(3)若X具有性质P，且
，求数列的通项公式．
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解题方法
9 . 已知数列的前n项和为，且满足
．
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，数列的前n项和为
，求证
．
的前n项和为，且满足．(1)求数列
的通项公式；(2)设
，数列的前n项和为，求证．
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2024-04-18更新
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1231次组卷
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2卷引用：北京市第九中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
解题方法
10 . 给定数列，若满足
(
且
)，对于任意的
，都有
，则称数列为“指数型数列”．
(1)已知数列
的通项公式分别为
，试判断数列是不是“指数型数列”；
(2)已知数列满足
，判断数列
是不是“指数型数列”．若是，请给出证明，若不是，请说明理由；
(3)若数列是“指数型数列”，且
，证明数列中任意三项都不能构成等差数列．
，若满足 (且)，对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．(1)已知数列
的通项公式分别为，试判断数列是不是“指数型数列”；(2)已知数列
满足，判断数列是不是“指数型数列”．若是，请给出证明，若不是，请说明理由；(3)若数列
是“指数型数列”，且，证明数列中任意三项都不能构成等差数列．
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