1 . 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到
，然后分叉向
与
方向继续繁殖，其中
，且
与
关于
所在直线对称，
….若
，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（
，单位：
）至少为（ ）
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）
| A．6 | B．7 | C．8 | D．9 |
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2 . 黎曼猜想由数学家波恩哈德-黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的对象是类似于
的无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和
入手.请你回答以下问题：
（1）
______ .
（其中
表示不超过
的最大整数，如
.）
（2）已知正项数列
的前
项和为
，且满足
，则
______ .
的无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题：（1）
（其中
表示不超过的最大整数，如.）（2）已知正项数列
的前项和为，且满足，则
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3 . 若集合
，其中
和
是不同的数字，则A中所有元素的和为（ ）.
，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（ ）.| A．44 | B．110 | C．132 | D．143 |
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解题方法
4 . 雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于定值为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2022高三·上海·专题练习
5 . 已知直线
与轴交于点
，将线段
的n等分点从左至右依次记为
，过这些分点分别作轴的垂线，与直线l的交点依次为
，从而得到n-1个直角三角形△
，△
，
，△
，若这些三角形的面积之和为，则
____________ ．
与轴交于点，将线段的n等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与直线l的交点依次为，从而得到n-1个直角三角形△，△，，△，若这些三角形的面积之和为，则
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名校
解题方法
6 . 如图，直线
与抛物线
相交于不同的两点
、
，且
（
为定值），线段
的中点为
，与直线
平行的抛物线的切线的切点为
．
（1）用
、表示出点、点的坐标，并证明
垂直于轴；，
（2）求
的面积（只与有关，与、无关）；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连
、
，再作与、平行的切线，切点分别为
、
，小张马上写出了
、
的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．（1）用
、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，（2）求
的面积（只与有关，与、无关）；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连
、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
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20-21高二上·江苏泰州·阶段练习
名校
解题方法
7 . 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记为第个图形的边长，记
为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（ ）
为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是（ ）A． | B． |
C．若 为中的不同两项，且 ，则 最小值是1 | D．若 恒成立，则 的最小值为 |
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2021-08-17更新
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1490次组卷
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8卷引用：考点11 数列的综合应用-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
（已下线）考点11 数列的综合应用-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）重庆市缙云教育联盟2022届高三上学期第O次诊断性检测数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题20 分形几何 微点2 分形几何综合训练江苏省泰州市姜堰中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第4章 数列 单元综合检测（难点）（单元培优）-2021-2022学年高二数学课后培优练（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）第01讲 数列-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）4.3.3 等比数列的前n项和（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）专题07 《数列》中的最值问题-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）
2020高三·全国·专题练习
解题方法
8 . 已知数列､满足
，
，
，
.
（1）求证：
；
（2）设数列
的前项和为，求证：
；
（3）设数列的前项和为
，求证：当
时，
.
､满足，，，.（1）求证：
；（2）设数列
的前项和为，求证：；（3）设数列
的前项和为，求证：当时，.
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真题
9 . 设数列的前项和与
满足
（其中是与无关的常数，且
）.
（1）试写出的表达式（用，表示）；
（2）若
，求的取值范围.
的前项和与满足（其中是与无关的常数，且）.（1）试写出
的表达式（用，表示）；（2）若
，求的取值范围.
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2019-11-09更新
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255次组卷
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3卷引用：1987年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷）
名校
10 . 已知无穷等比数列
的公比为
，前项和为，且
，若对于任意
，
恒成立，则公比的取值范围是________
的公比为，前项和为，且，若对于任意，恒成立，则公比的取值范围是
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2020-01-03更新
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274次组卷
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4卷引用：上海市南模中学2017-2018学年高三上学期开学考数学试题
