1 . 已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是．
(1)判断数列单调性，并说明理由；
(2)求数列的通项公式；
(3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值．

2 . 已知正数列的前项和满足：
(1)求证：是一个定值；
(2)若数列是一个严格增数列，求的取值范围．

3 . 已知数列是等比数列，且公比，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且前n项和为，求的表达式；
（3）设由（2）中及构成函数，，求的最小值与最大值．

4 . 已知等差数列的前项和为，，为整数，且对任意都有.
（1）求的通项公式；
（2）设，（），求的前项和；
（3）在（2）的条件下，若数列满足.是否存在实数，使得数列是单调递增数列.若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

5 . 为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换万辆燃油型公交车.每更换一辆新车，就淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆.设，分别为从今年起年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.
（1）求，，并求从今年起年里投入的所有新公交车的总数量；
（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求的最小值.

6 . 在直角坐标平面上的一列点，简记为．若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列．
（1）判断，是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列，且点在点的右上方．任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若为点列，正整数，满足，求证：．

7 . 数列，满足，，；
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，，当时，求的取值范围．

8 . 数列，满足，；
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，求的通项公式.

9 . 数列，满足，，.
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，，当时，求的取值范围.

10 . 正数列{}的前n项和S_n满足：2＝﹣1，＝a＞0．
（1）求证：﹣是一个定值；
（2）若数列{}是一个单调递增数列，求a的取值范围；
（3）若是一个整数，求符合条件的自然数a．