1 . 已知是首项为1的等比数列，是首项为2的等差数列，且.
(1)求和的通项公式；
(2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，求数列的前50项和；
(3)设数列的通项公式为，，记的前项和为，若对任意的都成立，求正数的取值范围.

2 . 已知点和曲线上的点．若成等差数列且公差，则的最大值为_____．

3 . 设满足以下两个条件的有穷数列为n（）阶“期待数列”：
①；
②．
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
(2)若某（）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“期待数列”的前k项和为（），试证：
（i）；
（ii）．

4 . 在数列中，.在等差数列中，前项和为，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，数列的前项和记为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

5 . 已知函数，数列是公差为4的等差数列，若，则数列的前n项和_____．

6 . 记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对于任意正整数，．

7 . 已知各项均为正数的等差数列与等比数列满足，又、、成等比数列且.
（1）求数列、的通项公式；
（2）将数列、的所有公共项从小到大排序构成数列，试求数列前2021项之和；
（3）若，数列是严格递增数列，求的取值范围.

8 . 已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.

9 . 已知等差数列的公差，数列满足，集合，若，集合中恰好有两个元素，则________

10 . 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围；.
（3）是否存在正整数，使得．成等比数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由.