1 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

2 . 对每个正整数是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．
(1)证明：；
(2)取，并记，求数列的前项和．

3 . 已知数列的前项和为，前项积为，满足．
(1)求，和；
(2)证明：．

4 . 在数列中，，，且数列是等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．

5 . 已知数列满足，，数列，的前n项和分别为．
(1)求，并证明数列为等比数列；
(2)当时，有恒成立，求正整数m的最小值．

6 . 已知等比数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.

7 . 设是等差数列的前项和，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)当，，求数列的前项和．

8 . 在与中间插入个数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记为，数列满足，记和分别为数列，的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：

9 . 已知函数.证明：
(1)当，不等式恒成立；
(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）

10 . 设数列的前项和满足（），且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和