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1 . 函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在1905年提出来的.其中对于凸函数的定义如下:设连续函数的定义域为(或开区间或,或都可以),若对于区间上任意两个数,均有成立,则称为区间上的凸函数.容易证明譬如都是凸函数.Johan Jensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形,即著名的Jensen不等式:若函数为其定义域上的凸函数,则对其定义域内任意个数,均有成立,当且仅当时等号成立.
(1)若函数为上的凸函数,求的取值范围:
(2)在中,求的最小值;
(3)若连续函数的定义域和值域都是,且对于任意均满足下述两个不等式:,证明:函数为上的凸函数.(注:)
(1)若函数为上的凸函数,求的取值范围:
(2)在中,求的最小值;
(3)若连续函数的定义域和值域都是,且对于任意均满足下述两个不等式:,证明:函数为上的凸函数.(注:)
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2 . 某足球场长、宽,球门宽,球门位于底线中央.当足球运动员沿斜向直线带球突破时,为球场边线的中点,为底线上一点,路线如图,若;
(1)求;
(2)若是球员起脚射门的点,试问是多少时,对球门的张角最大?并求此时到底线的距离.
(1)求;
(2)若是球员起脚射门的点,试问是多少时,对球门的张角最大?并求此时到底线的距离.
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解题方法
3 . 国家主席习近平在2024年新年贺词中指出,“2023年,我们接续奋斗、砥砺前行,经历了风雨洗礼,看到了美丽风景,取得了沉甸甸的收获”“粮食生产“二十连丰,绿水青山成色更足,乡村振兴展现新气象”.某乡镇响应国家号召,计划修建如图所示的矩形花园,其占地面积为,花园四周修建通道,花园一边长为,且.
(1)设花园及周边通道的总占地面积为,试求与的函数解析式;
(2)当时,试求的最小值.
(1)设花园及周边通道的总占地面积为,试求与的函数解析式;
(2)当时,试求的最小值.
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2024-01-26更新
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216次组卷
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2卷引用:湖南省邵阳市2023-2024学年高一上学期1月期末联考数学试题
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解题方法
4 . 下列命题中,正确的是( )
A. |
B. |
C.,其中,,函数的图像向右平移个单位长度后,得到为偶函数,则的最小值为4 |
D.方程的根的个数为12个 |
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2024-01-26更新
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282次组卷
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2卷引用:湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
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解题方法
5 . 给出下列四个命题,其中正确的有( )
A.函数的最小值为2 |
B.若,则 |
C.若,则 |
D.命题:,的否定为:, |
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解题方法
6 . 已知,则________ ,________ ;
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2023-12-16更新
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335次组卷
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2卷引用:湖南省岳阳市2023-2024学年高一上学期期末数学试题
名校
解题方法
7 . 天气渐冷,某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”.预估生产线建设等固定成本投入为100万,每生产万个还需投入生产成本万元,且据测算若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只,每只售价45元并能全部销售完.
(1)求出利润(万元)关于年产量万个的函数解析式;
(2)当产量至少为多少个时,该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本;
(3)当产量达到多少万个时,该公司所获得的利润最大?并求出最大利润.
(1)求出利润(万元)关于年产量万个的函数解析式;
(2)当产量至少为多少个时,该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本;
(3)当产量达到多少万个时,该公司所获得的利润最大?并求出最大利润.
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2023-11-26更新
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248次组卷
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2卷引用:湖南省株洲市第十三中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
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8 . 下列叙述正确的是( )
A.当时, |
B.当时,的最小值是5 |
C.函数的最大值是0 |
D.函数在区间上单调递增,则的取值范围是 |
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9 . 我国明朝科学家徐光启在他的《几何原本》中,首创使用几何方法研究代数问题,后来这一方法“几何代数法”成了西方数学家处理问题的重要依据.运用这个方法,很多代数公式、定理都能够通过图形实现证明,数学上称之为“无字证明”.设,,称为a,b的调和平均数;为a,b的几何平均数;为a,b的算术平均数;为a,b的平方平均数.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点,点D在半圆O上,且,于点E,过点O作AB的垂线,交半圆于F,连结CF,设,.
(1)求线段DE与CF长度;
(2)证明:.
(1)求线段DE与CF长度;
(2)证明:.
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10 . 下列说法正确的是( )
A.函数的最小值为2 |
B.若正数x,y满足,则的最大值是2 |
C.已知实数x,y满足且,则 |
D.若对任意,恒成立,则 |
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