1 . 如图，已知正方体的棱长为，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面和底面夹角的正弦值.

2 . 在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，．

   

(1)证明：∥平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．

3 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

4 . 已知三棱柱中，，，
   
(1)求证：平面平面．
(2)若，为棱上一点，求平面和平面夹角的余弦值的最大值

5 . 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点，分别为，的中点，且.

   

(1)求的长；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

6 . 如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点为中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.

7 . 如图，在四棱锥中，，，，点P在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，E，F分别是BC，AP的中点.

(1)证明：平面PCD；
(2)当时，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

8 . 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是正方形，O是的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.

9 . 中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥成为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面为矩形，平面，，，以的中点为球心，为直径的球面交于（异于点），交于（异于点）.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

10 . 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.