1 . 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，P为DO上一点，．
   
(1)证明：平面平面PAC；
(2)设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的内切球的表面积．

2 . 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径．

(1)若，求圆锥侧面积与底面积的比和圆锥侧面展开图扇形圆心角的弧度数；
(2)经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，记圆台的体积为，以PO为直径的球的体积为，且，求∠APB的余弦值．

3 . 如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

4 . 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形.

(1)求挖掉的直三棱柱的体积；
(2)求剩余几何体的表面积.

5 . 如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连接并延长交于点.作交于.

（1）证明：是的中点；
（2）证明：面；
（3）过点作面，为垂足，求三棱锥的外接球体积.

6 . 如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体.

(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.

7 . 如图，圆柱的底面半径为,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

(Ⅰ) 计算圆柱的表面积；
(Ⅱ）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．

8 . 如图，在三棱锥中，丄平面，，，．

(1)证明：丄；
(2)求二面角的正弦值；
(3)求三棱锥外接球的体积．