1 . 在四面体ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，点M为AD上动点，连结BM，CM，如图.

(1)求证：BM⊥CD；
(2)若AM＝2MD，求二面角M﹣BC﹣D的余弦值；
(3)是否存在一个球，使得四面体ABCD的顶点都在此球的球面上？若存在，确定球心的位置并证明；若不存在，请说明理由.

3 . 如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，.

(1)求证：平面；
(2)求几何体的体积.

4 . 如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，，H为BD的中点，，．
   
(1)求证：；
(2)求异面直线BC与AD所成角的大小．
(3)若，求三棱锥外接球的体积．

5 . 如图，在直角梯形中，，，，，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形翻折至，使得平面平面．
   
(1)求证：；
(2)设G为EF上的动点，当取最小值时，求异面直线与所成角的大小；
(3)求多面体的体积.

6 . 我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示，在长方体中，已知，.

(1)求证：四棱锥是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积；
(2)求该“阳马”的外接球的表面积.

7 . 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体

(1)求新多面体的体积；
(2)求二面角的余弦值．

9 . 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若.

(1)求五面体ABCDEF的体积；
(2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD.

10 . 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且.

   

(1)设平面，求证：；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.