1 . 如图，在长方体中，面与棱分别交于点，且均为中点．

（1）求证：面；
（2）若为的中点．上是否存在动点，使得面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，说明理由．

2 . 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA， PC的中点．

（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，记直线DF与平面ABC所成的角为 ，直线DF与直线BD所成的角为 ，二面角的大小为 ，求证： ．

3 . 如图，在正四棱柱中，，是棱上任意一点．

(1)求证：；
(2)若是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．

4 . 如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．

   

(1)求证：E、F、C、四点共面：
(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．

5 . 如图，在正方体中，分别是的中点．
   
(1)求证：四点共面；
(2)求异面直线所成的角.

6 . 在直三棱柱中，，，，D是的中点.
   
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成的角.

7 . 如图，四面体中，，，，为的中点.
   
(1)证明：；
(2)设，，点在上；
①点为中点，求与所成的角的余弦值；
②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值.

8 . 如图，多面体是将一个平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，P为三角形的重心，Q为的中点.四边形ABCD是边长为1的正方形，且，.
   
(1)求异面直线BC与所成角的大小；
(2)求证：直线平面.

9 . 在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
   
(1)求证：平面平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．

10 . 如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，底面为菱形，为的中点，且平面，与交于点，为上一点，且.
   
(1)求证：平面平面；
(2)若，求异面直线与所成角的余弦值.