1 . 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面．
   
(1)证明：；
(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

2 . 已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论：

①对于任意给定的点，存在点，使得；
②对于任意给定的点，存在点，使得；
③对于任意给定的点，存在点，使得；
④对于任意给定的点，存在点，使得．
其中正确的结论是（       ）

A．①

B．②③

C．①④

D．②④

3 . 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（       ）

A．在棱上存在点，使平面

B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的大小为45°

D．平面

4 . 已知正四棱柱中，，．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，．分别是的中点，且，平面平面．

（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小．

6 . 已知有两个半径为2的球记为O₁，O₂，两个半径为3的球记为O₃，O₄，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球O₁，O₂，O₃，O₄都相内切，则球O的表面积为________．

7 . 如图，在四棱锥中，，．

（1）求证：平面平面；
（2）点为线段上异于的一点，若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求点的位置．

8 . 如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.

（1）求证：平面；
（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.

9 . 已知三棱锥中，，，，为等边三角形，平面平面，为的中点

（1）求证：平面.
（2）若为的中点，求三棱锥的体积.
（3）（只理科做）求二面角的正弦值.

10 . 设球是棱长为2的正方体的外接球，为的中点，点在球面上运动，且总有则点的轨迹的周长为（       ）

A．

B．

C．

D．