名校
解题方法
1 . 在梯形
中，
，
，
，P为
的中点，线段
与
交于O点（如图1）.将
沿折起到
位置，使得平面
平面
（如图2）.
(1)求二面角
的余弦值；
(2)线段
上是否存在点Q，使得
与平面
所成角的正弦值为
?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. (1)求二面角
的余弦值；(2)线段
上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2023-11-02更新
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3394次组卷
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7卷引用：北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题
名校
解题方法
2 . 如图，在四棱锥
中，平面
平面，
，
，
，
，
为棱
的中点.
(1)证明：
∥平面
；
(2)若
，
，
（i）求二面角
的余弦值；
（ii）在线段
上是否存在点
，使得点到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
中，平面平面，，，，，为棱的中点. (1)证明：
∥平面；(2)若
，，（i）求二面角
的余弦值；（ii）在线段
上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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23-24高二上·山东·阶段练习
名校
3 . 如图，在四棱台
中，底面是正方形，
，
，
，
．
(1)求证：直线
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
中，底面是正方形，，，，． (1)求证：直线
平面；(2)求二面角
的余弦值．
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2023-10-12更新
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758次组卷
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3卷引用：黄金卷03
名校
解题方法
4 . 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，
∥
、
、
、
，
、
分别为、的中点，
．
(1)证明：平面
平面；
(2)若与所成角为
，求二面角
的余弦值．
中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．(1)证明：平面
平面；(2)若
与所成角为，求二面角的余弦值．
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2023-11-05更新
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2579次组卷
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13卷引用：北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题
北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题新疆克拉玛依市2022届高三下学期第三次模拟检测数学（理）试题广东省广州市奥林匹克中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试题辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）1.2.4 二面角（已下线）第4讲 空间向量的应用 （3）（已下线）第07讲 空间向量的应用 （2）山西省运城市稷山县稷山中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题重庆市北碚区缙云教育联盟2024届高考零诊数学试题（已下线）四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题江西省上饶市广丰区南山中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题河南省郑州市第十八中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（三）新疆维吾尔自治区阿克苏地库车市第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（12月）数学
5 . 如图，在四棱柱中，
平面
，
为线段
的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①：
；条件②：
.
与
所成角的余弦值；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)已知点在线段
上，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长.
中，平面，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：
；条件②：.
与所成角的余弦值；(2)求点
到平面的距离；(3)已知点
在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
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2023-01-07更新
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1246次组卷
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5卷引用：北京市西城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
北京市西城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题北京市海淀区北京交大附中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）高二上学期期中考试解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）考点13 立体几何中的探究问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题变式题 16-19
名校
解题方法
6 . 如图，四棱锥的底面为菱形，
，
，
底面，，分别是线段
，
的中点，
是线段上的一点．
(1)若
平面
，求证：为的中点；
(2)若是直线与平面
的交点，试确定
的值；
(3)若直线
与平面所成角的正弦值为
，求三棱锥
体积．
的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．(1)若
平面，求证：为的中点；(2)若
是直线与平面的交点，试确定的值；(3)若直线
与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
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名校
7 . 如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为4的菱形，
，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面
与棱
交于点E.
(1)求证：
；
(2)若
，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面
所成角的正弦值.条件①：平面
平面；条件②：
；条件③：
.
中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.(1)求证：
；(2)若
，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
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2022-10-20更新
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2752次组卷
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15卷引用：北京市西城区2022届高三二模数学试题
北京市西城区2022届高三二模数学试题北京市昌平区第二中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市第五十七中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市东城区2023届高三一模数学试题查漏补缺练习试题（2）（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题9-12题空间向量与立体几何中的高考新题型（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题16-18题全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷（已下线）专题8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）-3（已下线）北京市西城区2022届高三二模数学试题变式题16-21（已下线）模块十一 立体几何-2重庆市第八中学校2022届高三下学期高考考前模拟数学试题（已下线）模块六 专题8 易错题目重组卷（重庆卷）陕西省延安市宜川县中学2023届高三一模理科数学试题（已下线）专题4 大题分类练（空间向量与立体几何）拔高能力练 高二期末
名校
解题方法
8 . 《瀑布》（图1）是埃舍尔最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻.画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形
的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为
，将极点
，分别与正方形
的顶点连线，取其中点记为
，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥
与
.
(1)求异面直线
与
成角余弦值
(2)求平面
与平面
的夹角余弦值
(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形
的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与.(1)求异面直线
与成角余弦值(2)求平面
与平面的夹角余弦值(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）
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解题方法
9 . 如图，在三棱锥
中，底面
，
，点
分别为棱
的中点，是线段的中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)已知点
在棱上，且直线
与直线
所成角的余弦值为
，求线段AH的长．
中，底面，，点分别为棱的中点，是线段的中点，．(1)求证：
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值；(3)已知点
在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段AH的长．
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2022-11-06更新
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1134次组卷
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8卷引用：北京市第八中学2021届高三上学期期中练习数学试题
10 . 如图所示，在三棱柱
中，
为正方形，
是菱形，
，平面
平面．
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
所成角的余弦值．
中，为正方形，是菱形，，平面平面．(1)求证：
；(2)求平面
与平面所成角的余弦值．
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