1 . 如图，在正三棱柱
与四棱锥
组成的组合体中，底面
恰好是边长为2的菱形，且
．
(1)求证：
；
(2)设
是
的中点，求直线
与直线
所成角的余弦值．
与四棱锥组成的组合体中，底面恰好是边长为2的菱形，且．(1)求证：
；(2)设
是的中点，求直线与直线所成角的余弦值．
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名校
解题方法
2 . 已知四棱锥
中，
底面ABCD，四边形ABCD是正方形，
.点
在棱
上运动，当平面
平面
时，异面直线
与
所成角的正弦值为______ .
中，底面ABCD，四边形ABCD是正方形，.点在棱上运动，当平面平面时，异面直线与所成角的正弦值为
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2023-11-06更新
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87次组卷
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4卷引用：专题4 空间几何体的角度运算（提升版）
名校
解题方法
3 . 如图，在正方体
中，
分别为棱
，
，
的中点，则
与MN所成角的余弦值为（ ）
中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（ ） A． | B． | C． | D． |
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2023-11-06更新
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1113次组卷
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16卷引用：“8+4+4”小题强化训练(38)利用空间向量求空间角-2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）
（已下线）“8+4+4”小题强化训练(38)利用空间向量求空间角-2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专用）（已下线）专题09 立体几何（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题09 立体几何（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（文理通用）（理科）（已下线）专题20 立体几何角的计算问题（讲）-2021年高三数学二轮复习讲练测（新高考版）（已下线）专题24 立体几何角的计算问题（讲）-2021年高三数学二轮复习讲练测（文理通用）（已下线）考点12 空间角 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）艺体生一轮复习 第七章 立体几何 第35讲 空间向量及其运算【讲】安徽省滁州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测文科数学试题安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测文科数学试题辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）模块一 专题1 立体几何（1）高三期末重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二下学期第三次月考数学试题山东省枣庄市市中区市中区辅仁高级中学2023年高二上学期10月月考数学试题内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰第四中学桥北新校2023-2024学年高二上学期期中数学试题安徽省六安市裕安区新安中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题吉林省辽源市田家炳高级中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
21-22高二·全国·课后作业
名校
解题方法
4 . 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． | B．向量 与 的夹角是60° |
| C．AC1⊥DB | D．BD1与AC所成角的余弦值为 |
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2023-08-26更新
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1431次组卷
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35卷引用：专题16 空间向量与立体几何-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）
（已下线）专题16 空间向量与立体几何-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）（已下线）第04讲 空间向量及其运算 （2）湖南省长沙市宁乡市2021-2022学年高二上学期期末数学试题（已下线）突破1.2 空间向量基本定理（课时训练）第一章 空间向量与立体几何章末检测（基础篇）湖南省郴州市永兴县童星学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题黑龙江省鸡西市英桥高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题安徽师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题广东省湛江市雷州市白沙中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题浙江省温州市平阳县万全综合高级中学2022-2023学年高二普高班上学期期中数学试题江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题浙江省杭州东方中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）1.1.2 空间向量的数量积运算 精讲（4大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.1.2 空间向量的数量积运算【第二练】（已下线）1.1.2 空间向量的数量积运算【第三练】（已下线）专题 1.1 空间向量基本定理及基底求最值12种题型(3)（已下线）专题 01 空间基底及综合应用（4）（已下线）课时1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册）河北省石家庄市四中2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题山东省实验中学2021-2022学年高二10月月考数学试题山东省枣庄市滕州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题吉林省汪清县汪清第四中学2021-2022学年高二上学期第一次阶段检测数学试题湖北省襄阳市第五中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题广东省阳江市高新区2022-2023学年高二上学期期末检测数学试题湖南省岳阳市平江县颐华高级中学（平江）有限公司2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题1.1.2 空间向量的数量积运算练习山西省临汾市洪洞县向明中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题广东省肇庆鼎湖中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷四川省眉山市仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高二上学期期中数学试题内蒙古自治区赤峰市内蒙古自治区第二地质中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段测试（期中）数学试题四川省成都冠城实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）专题 01 空间基底及综合应用（3）河南省驻马店市开发区高级中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试题（已下线）专题01 空间向量与立体几何（3）
名校
解题方法
5 . 如图，四棱锥中，底面是矩形，
，
，
，
，
是等腰三角形，点是棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-12-25更新
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841次组卷
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22卷引用：考点18 空间中的角度和距离问题-1-（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）
（已下线）考点18 空间中的角度和距离问题-1-（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）（已下线）第36讲 空间向量的应用-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）（已下线）专题7.3 空间角与空间中的距离问题【九大题型】2020高考命题专家预测密卷理科数学（一）试题2020高考命题专家预测密卷文科数学（一）试题黑龙江省大庆中学2020-2021学年高三10月月考数学（文）试题吉林省长春市十一高中2022-2023学年高三下学期期初考试数学试题新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学2023届高三第三次诊断性测试数学（理）试题安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题（已下线）1.4.2 空间向量的应用（二）（精讲）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第一册（人教版A版）吉林省延边第二中学2020-2021学年高二上学期第二次考试月考数学（理）试题人教A版(2019) 选修第一册 数学奇书 第一章 空间向量与立体几何 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时 用空间向量研究夹角问题人教A版(2019) 选修第一册 第一章 阶段测评（一）空间向量与立体几何广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题江苏省苏南八校2023-2024学年高二创新班上学期12月联考数学试题广东省江门市某校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题江苏省苏南八校2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷北京市西城区2023-2024学年高二上学期期末模拟练习数学试题（已下线）专题13 空间向量的应用10种常见考法归类（1）福建省莆田五中、莆田八中、莆田十中、莆田侨中2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（已下线）高二数学开学摸底考02（江苏专用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷（已下线）6．3 空间向量的应用 （3）
名校
解题方法
6 . 正方体
分别为
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． | B． | C． | D． |
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2023-07-28更新
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744次组卷
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14卷引用：第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (高频考点—精讲）-1
（已下线）第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (高频考点—精讲）-1辽宁省沈阳市第八十三中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题天津市宝坻区第一中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）高二上学期第一次月考试题（范围：第一章 空间向量与立体几何、第二章 直线和圆的方程）-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）浙江省宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法，5类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）福建省泉州市第六中学2022-2023学年高二上学期期中模块测试数学试题陕西省汉中市校际联考2020-2021学年高二下学期期末理科数学试题第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）福建省漳州市第三中学2022-2023学年高二下学期3月教学质量检测数学试题黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题浙江省温州新力量联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）模块一 专题1 空间向量的基本运算 A基础卷 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高二人教A版浙江省金华市武义第一中学2023-2024学年高二上学期12月检测2数学试题
名校
7 . 如图，在正三棱柱
中，底面边长为2，
，D为
的中点，点E在棱
上，且
，点P为线段上的动点．
(1)求证：
；
(2)若直线
与
所成角的余弦值为
，求平面
和平面
的夹角的余弦值．
中，底面边长为2，，D为的中点，点E在棱上，且，点P为线段上的动点．(1)求证：
；(2)若直线
与所成角的余弦值为，求平面和平面的夹角的余弦值．
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2022-09-23更新
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1519次组卷
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5卷引用：第03讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（练）
（已下线）第03讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（练）（已下线）第05讲 空间向量及其应用 (高频考点—精练）江苏省丹阳高级中学、常州高级中学、南菁高级中学2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题（已下线）考向28利用空间向量求空间角（重点）云南省大理市辖区2023届高三毕业生上学期区域性规模化统一检测数学试题
名校
解题方法
8 . 已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2022-07-11更新
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6372次组卷
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20卷引用：专题32 空间向量及其应用-4
（已下线）专题32 空间向量及其应用-4（已下线）专题14 空间向量与立体几何（理科）-备战2023年高考数学母题题源解密（全国通用）（已下线）7.3 空间角（精练）（已下线）第10讲 第七章 立体几何与空间向量（综合测试）山东省济南市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）突破1.4 空间向量的应用（课时训练）河南省周口市商水县实验高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题山西省运城市景胜中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学（A）试题山东省枣庄市枣庄市第十六中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题河南省开封市通许县启智高中2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题天津市蓟州中学2022-2023学年高二上学期期中练习二数学试题福建省南安市柳城中学2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题新疆乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）广西南宁市第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题练习河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题陕西省西安市长安区2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题贵州省都匀兴华中学2023-2024学年高二上学期阶段测试(一)数学试题
2022高三·全国·专题练习
解题方法
9 . 已知四边形，
，
，现将
沿折起，使二面角
的大小在
内，则直线与
所成角的余弦值取值范围是（ ）
，，，现将沿折起，使二面角的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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的菱形，
，对角线
与
，
平面
．
与
所成角的余弦值．
