1 . 直三棱柱
中，
，D为
的中点，E为
的中点，F为
的中点．
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面夹角的余弦值．
中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)求平面
与平面夹角的余弦值．
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2022-07-25更新
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19635次组卷
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35卷引用：上海市青浦高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
上海市青浦高级中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）期末真题必刷常考60题（32个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）2022年新高考天津数学高考真题（已下线）7.3 空间角（精讲）（已下线）2022年高考天津数学高考真题变式题7-9题（已下线）2022年高考天津数学高考真题变式题16-18题（已下线）第04讲 空间向量在立体几何中的应用（练，理科专用）天津市第四中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题河南省商城县观庙高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考理科数学试题天津市第三十二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题天津市第四十一中学2022-2023学年高三上学期线上期末练习数学试题（已下线）专题08 立体几何解答题常考全归类（精讲精练）-1天津市咸水沽第一中学2021届高三下学期高考模拟(一)数学试题天津市武清区杨村第一中学2022-2023学年高二下学期开学检测数学试题天津市武清区黄花店中学2022-2023学年高三下学期开学测试数学试题江苏省常州市联盟学校2022-2023学年高二下学期3月学情调研数学试题（已下线）重组卷03（已下线）重组卷04（已下线）专题19 空间几何解答题（理科）-3第一章 空间向量与立体几何 （单元测）江苏省扬州市宝应县2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）天津市第二南开学校2024届高三上学期10月阶段评估数学试题陕西省西安市周至县第四中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题河南省洛阳复兴学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学模拟试题云南省昆明市云南师范大学附属中学西山学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题天津市河西区2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（已下线）第05讲 空间向量及其应用（练习）重庆市部分学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题江苏省镇江市镇江中学2023-2024学年高二下学期见面（开学）考试数学试题天津市滨海新区塘沽第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学练习9（已下线）重难点12 立体几何必考经典解答题全归类【九大题型】（已下线）通关练05 空间向量与立体几何近五年高考真题4考点精练（30题）- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)江苏高二专题02立体几何与空间向量（第二部分）
名校
2 . 如图①所示，长方形
中，
，
，点
是边的中点，将
沿
翻折到
，连接
，
，得到图②的四棱锥
．的体积的最大值；
(2)若棱的中点为
，求
的长；
(3)设
的大小为
，若
，求平面
和平面
夹角余弦值的最小值．
中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
的体积的最大值；(2)若棱
的中点为，求的长；(3)设
的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
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2022-07-07更新
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5208次组卷
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23卷引用：第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期返校联考适应性考试数学试题广东省梅州市兴宁市第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题黑龙江省饶河县高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题山东省泰安市泰安第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖北省武汉市第十九中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖北省武汉市第三中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第6章 空间向量与立体几何 单元综合检测（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题吉林省长春市文理高中2022-2023学年高一下学期第三学程考试数学试题黑龙江省鹤岗市第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题湖北省温德克英联盟2023-2024学年高二8月开学综合性难度选拔考试数学试题（已下线）高二上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）福建省泉州市晋江学校2023-2024学年高二上学期第一次阶段检测数学试题黑龙江省大庆第一中学2023-2024学年高二上学期第二次验收考试数学试题（已下线）难关必刷01 空间向量的综合应用-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（压轴题专练，精选20题）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（单元提升卷）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册） 四川省泸县第五中学2023-2024学年高二上学期第一次月考试数学试题（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点5 翻折、旋转问题中的最值（二）浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
解题方法
3 . 如图，在四棱柱
中，底面为菱形，
平面，且
，
．
(1)求点
到平面
的距离；
(2)①求二面角
大小．
②求直线
与平面所成角的大小．
中，底面为菱形，平面，且，．(1)求点
到平面的距离；(2)①求二面角
大小．②求直线
与平面所成角的大小．
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4 . 如图，直三棱柱的体积为4，
的面积为
．
(1)求A到平面
的距离；
(2)设D为
的中点，
，平面
平面
，求二面角
的正弦值．
的体积为4，的面积为．(1)求A到平面
的距离；(2)设D为
的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
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2022-06-07更新
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74630次组卷
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70卷引用：上海市宝山区吴淞中学2024届高三下学期3月月考数学试题
上海市宝山区吴淞中学2024届高三下学期3月月考数学试题2022年新高考全国I卷数学真题（已下线）2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题9-12题（已下线）第6讲 立体几何（已下线）第09讲 空间向量的应用 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）（已下线）专题17 立体几何解答题（已下线）专题08 立体几何综合-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（已下线）专题20 立体几何解答题-1贵州省贵阳市贵阳乐湾国际试验学校2023届高三上学期开学考数学（理）试题（已下线）第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (讲）-3黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题浙江省台州市书生中学2022-2023学年高二上学期起始考数学试题 （已下线）2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题17-19题湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题（已下线）第52讲 空间向量在立体几何中的运用（已下线）第04讲 空间向量在立体几何中的应用（练，理科专用）第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）（已下线）考向28利用空间向量求空间角（重点）河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三上学期第二次月考数学试题福建省厦门集美中学2022-2023学年高二上学期第二次质量检测数学试题广东省肇庆市第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题山东省青岛市青岛第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题浙江省湖州市安吉县外国语学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）专题1 2022高考命题分析与专家整体解读山东省青岛市青岛第九中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题安徽省教育厅2023届高三老高考新课标题型示例数学试题（已下线）专题08 立体几何解答题常考全归类（精讲精练）-1（已下线）专题3 解答题题型（已下线）专题6 第3讲 立体几何中的向量方法山东省烟台第一中学2022-2023学年高二下学期入学摸底测试数学试题河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三上学期期末数学试题山东省2023届高考考向核心卷数学试题四川省成都市天府新区太平中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学（理科）试题（已下线）重组卷03（已下线）押新高考第20题 立体几何（已下线）第4讲 空间向量的应用 （3）（已下线）专题19 空间几何解答题（理科）-3山东省青岛市青岛第五十八中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题江苏省宿迁市沭阳县建陵高级中学2022-2023学年高二下学期第二次学情检测数学试题专题06立体几何与空间向量（成品）专题06立体几何与空间向量（添加试题分类成品）山西省阳泉市第一中学校2023届高三适应性考试数学试题（已下线）第07讲 空间向量的应用 （2）河南省焦作市博爱县第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题人教A版(2019) 选修第一册 数学奇书 第一章 空间向量与立体几何+教考衔接(1)——巧构空间直角坐标系（已下线）专题10 立体几何综合-1江苏省南通市通州区石港中学2022-2023学年高二下学期第三次阶段检测数学试题1.4空间向量的应用山东省泰安市宁阳县第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题北师大版(2019) 选修第一册 章末检测卷（三） 空间向量与立体几何甘肃省临夏回族自治州等2地2023届高三上学期期末数学（文）试题广西南宁市第三十四中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 河南省洛阳市第一高级中学2023-2024学年高二上学期期中达标数学测评卷（A卷）（已下线）第05讲 空间向量及其应用（练习）福建省福州市台江区福州四中2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第二课】重庆市第十八中学2023-2024学年高二上学期期中学习能力摸底数学试题福建省泉州市泉港区第二中学2024届高三上学期第三次月考数学试题山西省临汾市洪洞县向明中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题湖南省张家界市慈利县第一中学2022-2023学年高二上学期第四次月考数学试题（已下线）专题06 期末预测基础卷-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）（已下线）专题05用空间向量研究距离、夹角问题（2个知识点6种题型1个易错点1种高考考法）（2）（已下线）专题05 空间向量与立体几何（分层练）（四大题型+21道精选真题）（已下线）专题7.3 空间角与空间中的距离问题【九大题型】（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（9大核心考点）（讲义）-1（已下线）专题06 立体几何 第二讲 立体几何中的计算问题（解密讲义）（已下线）专题06 立体几何 第一讲 立体几何中的证明问题（解密讲义）（已下线）通关练05 空间向量与立体几何近五年高考真题4考点精练（30题）- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)（已下线）专题04 高考立几大题真题精练（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-2
名校
5 . 如图，三棱锥
，侧棱
，底面三角形为正三角形，边长为
，顶点
在平面上的射影为
，有
，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.(1)求证：
平面；(2)求二面角
的余弦值.
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2022-05-28更新
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953次组卷
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4卷引用：上海市建平中学2021届高三冲刺模拟卷3数学试题
上海市建平中学2021届高三冲刺模拟卷3数学试题（已下线）1.2.4 二面角黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题四 期末高分必刷解答题（32道）-《考点·题型·密卷》
解题方法
6 . 在四棱台中，上下底面均为菱形，
，
底面，垂足为
的中点，
，
，
．
(1)求的长；
(2)求二面角
的正弦值．
中，上下底面均为菱形，，底面，垂足为的中点，，，．(1)求
的长；(2)求二面角
的正弦值．
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2022-05-15更新
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168次组卷
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3卷引用：上海高二下学期期末模拟预测卷01（高中全部内容）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）
（已下线）上海高二下学期期末模拟预测卷01（高中全部内容）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）甘肃省酒泉市2022届高考5月联考数学（理科）试题阳光桦树2022年普通高等学校招生统一考试押题卷理科数学试题
名校
解题方法
7 . 如图，在三棱锥
中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且
，M为
内部一动点，过M分别作平面OAB，平面OBC，平面OAC的垂线，垂足分别为P，Q，R．
①直线PR与直线BC是异面直线；
②
为定值；
③三棱锥
的外接球表面积的最小值为
；
④当
时，平面PQR与平面OBC所成的锐二面角为45°．
则以上结论中所有正确结论的序号是______ ．
中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，M为内部一动点，过M分别作平面OAB，平面OBC，平面OAC的垂线，垂足分别为P，Q，R．①直线PR与直线BC是异面直线；
②
为定值；③三棱锥
的外接球表面积的最小值为；④当
时，平面PQR与平面OBC所成的锐二面角为45°．则以上结论中所有正确结论的序号是
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2022-05-09更新
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512次组卷
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3卷引用：专题16 空间向量及其应用（模拟练）
名校
8 . 在底面为正三角形的三棱柱中，平面ABC⊥平面
，
，
.
(1)证明：
；
(2)求二面角
的余弦值.
中，平面ABC⊥平面，，.(1)证明：
；(2)求二面角
的余弦值.
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2022-05-08更新
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1289次组卷
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6卷引用：上海市上海中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市上海中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题山东省济南市2022届高三二模数学试题辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中（‖）考试数学试题（已下线）山东省济南市2022届高三二模数学试题变式题17-22福建省泉州市第九中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(二)数学试题变式题19-22
名校
9 . 如图，
平面，四边形为矩形，
，
，点
是的中点，点
为
的中点．
(1)证明：平面
；
(2)求平面
与所成锐二面角的大小.
平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点为的中点．(1)证明：
平面；(2)求平面
与所成锐二面角的大小.
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10 . 如图，在四棱锥
中，四边形ABCD是菱形，
，
，三棱锥
是正三棱锥，E，F分别为
，
的中点.
(1)求证：直线
平面SAC；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.
中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点.(1)求证：直线
平面SAC；(2)求二面角
的余弦值；(3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.
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2022-04-25更新
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2164次组卷
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5卷引用：3.4.2 求距离(六大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）3.4.2 求距离(六大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）辽宁省锦州市2022届高三第一次质量检测数学试题（已下线）理科数学-2022年高考押题预测卷03（全国甲卷）（已下线）期中测试卷（能力篇）（范围：第一章+第二章椭圆）-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)福建省泉州市石狮市第八中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题
