1 . 已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（       ）
   

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变

B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是

C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为

D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是

3 . 已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.

(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.

4 . 2022年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线．伯努利双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是（          ）

A．双纽线是中心对称图形

B．

C．双纽线上满足的点有2个

D．的最大值为

5 . 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．

6 . 已知每条侧棱长都为6，底面是边长为4的正方形的直四棱柱中，长为4的线段MN的一个端点在棱上运动，点在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与该几何体所围成的几何体中较小的几何体的体积是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，且，求与面积之和的最小值.

8 . 已知，是椭圆的两个焦点，那么在C上满足的点有________个．

9 . 已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)已知直线交轨迹E于两点P，Q，且中点的纵坐标为2，则的最大值为多少?

10 . 已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________．