1 . 已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点.
   
(1)若直线垂直于轴，求线段的长；
(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；
(3)若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程.

2 . 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．

(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线交于Q点．求的值；
(3)若点D、E在y轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．

3 . 如图定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点（、在同一象限内），称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的“伴随点”为．
   
(1)求椭圆及其“伴随圆”的方程；
(2)求的最大值，并求此时“伴随点”的坐标；

4 . 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列命题中，可能成立的个数为（       ）
（I）曲线上所有的点到点的距离大于2
（II）曲线上有两点到点与的距离之和为6
（III）曲线上有两点到点与的距离之差为2
（IV）曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

5 . 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.

6 . 已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点．
(1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；
(2)设点，当时，求点的坐标；
(3)设点，记、的斜率分别为和，试探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围．

7 . 设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点.

(1)若，求此时直线l的方程；
(2)若与直线l垂直的直线过点F，且与抛物线C相交于点M，N，设线段AB，MN的中点分别为P，Q，如图1.求证：直线PQ过定点；
(3)设抛物线C上的点S，T在其准线上的射影分别为，，若的面积是△STF的面积的两倍，如图2.求线段ST中点的轨迹方程.

8 . 已知椭圆的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点、，的周长为12.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积；
(3)过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在一定点，使恰为的平分线？.

9 . 已知椭圆，是其左、右焦点，是其左、右顶点，过的直线交椭圆于两点，且点在轴上方，为坐标原点.


(1)若轴，求线段的长；
(2)若的中点为，且点在以为直径的圆上，求点的坐标；
(3)若，求直线的方程.

10 . 在平面直角坐标系中，动点在椭圆上，点是的中点，过点作直线（和直线不重合）与椭圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为、，且，则的值是______.