1 . 对于曲线
，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线
上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线与曲线
有四个交点．
其中正确的命题个数是（ ）
，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；
②曲线
上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线
与曲线有四个交点．其中正确的命题个数是（ ）
| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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解题方法
2 . 曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率
（其中
表示函数
在点M处的导数，
表示导函数
在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得
，则称以D为圆心，以
为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．
在点
处的曲率，并在曲线
的图象上找一个点E，使曲线
在点E处的曲率与曲线
在点处的曲率相同；
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆
使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；
(3)在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求
的最大值．
（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．
在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；(2)若要在曲线
上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；(3)在（2）的条件下，在圆
上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
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3 . 已知双曲线
与曲线
有4个交点
（按逆时针排列）
(1)当
时，判断四边形
的形状；
(2)设
为坐标原点，证明：
为定值；
(3)求四边形面积的最大值．
附：若方程
有4个实根
，
，
，
，则
，
．
与曲线有4个交点（按逆时针排列）(1)当
时，判断四边形的形状；(2)设
为坐标原点，证明：为定值；(3)求四边形
面积的最大值．附：若方程
有4个实根，，，，则，．
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
4 . 设直线
与曲线
有三个不同的交点A，B，C，且
，则直线的方程为______ .
与曲线有三个不同的交点A，B，C，且，则直线的方程为
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5 . 已知曲线
（
为非零常数），则（ ）
（为非零常数），则（ ）| A．原点是的对称中心 |
B．直线 与恒有两个交点 |
C．当 时，直线 是的渐近线 |
D．当 时，直线 为的对称轴 |
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解题方法
6 . 数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：
，当
时，是我们熟知的圆；当
时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线的结论正确的是（ ）
：，当时，是我们熟知的圆；当时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线的结论正确的是（ ）A．对任意正实数 ，曲线恒过2个定点 |
| B．存在无数个正实数，曲线至少有4条对称轴 |
| C．星形线围成的封闭图形的面积大于2 |
D．星形线与圆 有四个公共点 |
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7 . 已知曲线
，
，给出下列四个命题：
①曲线
关于
轴、
轴和原点对称；
②当
时，曲线，
共有四个交点；
③当
时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3；
④当
时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积.
其中所有真命题的序号是______ .
，，给出下列四个命题：①曲线
关于轴、轴和原点对称；②当
时，曲线，共有四个交点；③当
时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3；④当
时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积.其中所有真命题的序号是
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8 . 已知曲线：
，：
，中
.①当时，曲线与有
个公共点；②当
时，第一象限内，曲线位于曲线的下方；③存在实数
，使得曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积；④曲线围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数不多于曲线围成的区域内（不含边界）的整点的个数.其中，所有正确结论的序号是________ .
：，：，中.①当时，曲线与有个公共点；②当时，第一象限内，曲线位于曲线的下方；③存在实数，使得曲线围成的区域面积恰等于围成的区域面积；④曲线围成的区域内（不含边界）的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的个数不多于曲线围成的区域内（不含边界）的整点的个数.其中，所有正确结论的序号是
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9 . 设
是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在所在的平面内，记
与
的面积分别为
，
，且
．当
，且
时，
________ ；记
，则实数a的取值范围为________ ．
是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在所在的平面内，记与的面积分别为，，且．当，且时，，则实数a的取值范围为
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23-24高二上·全国·单元测试
解题方法
10 . 在平面直角坐标系
中，已知曲线
，点
为曲线C上一点，则（ ）
中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（ ）| A．曲线C关于y轴对称 |
| B．曲线C关于原点对称 |
C．点P的横坐标x0的取值范围为 |
| D．直线y＝x+1与曲线C有且仅有两个公共点 |
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