1 . 已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的平分线经过点，求面积的最大值.

2 . P为圆上一动点，点B的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q．

(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为和，M、N为曲线C上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线与直线相交于点T，直线与直线相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得的面积为定值，并求该定值．

3 . 已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为.设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、.
(1)设椭圆上有一动点，求的取值范围；
(2)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由.

4 . 椭圆的左右焦点为和，为椭圆的中心，过作直线、，分别交椭圆于、和、，且的最大值为，的最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设线段、的中点分别为、，记的面积为，的面积为，若直线、的斜率为、且，求证：为定值，并求出这个定值.

5 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求k的值；
(3)若点Q的坐标为，求证：为定值.

6 . 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，已知点在直线上运动，且，当时，在上．
(1)求的方程；
(2)设在外，过点的直线与交于，两点，且直线，与直线分别交于点，，求的值．

8 . 已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求的面积的最大值．

9 . 已知椭圆左、右焦点分别为、，
   
(1)过右焦点的直线被C所截线段是弦，当垂直于x轴时弦为通径ST，求证： 最小值是通径；
(2)如图所示，若C的右顶点为，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点.
（ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（ⅱ）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点，若，求实数的取值范围.

10 . 设椭圆的离心率为，上､下顶点分别为.过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于两点.
(1)若，求的值；
(2)是否存在实数，使得直线平行于直线？证明你的结论.