1 . 已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点.
(1)若经过点，且，求；
(2)若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.

2 . 设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点，且．

(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当时，在轴上求一点，使得为定值．

4 . 已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．

(1)求双曲线的标准方程．
(2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．

①求证：为定值；

②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标．

5 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上位于轴上方一点，线段与圆相切于该线段的中点，且的面积为6．
(1)求双曲线的方程；
(2)若，过点的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程．

6 . 已知双曲线的离心率为．
(1)若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
(2)若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
(3)设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．

7 . 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为、，从发出的光线经过图2中的、两点反射后，分别经过点和，且，.
   
(1)求双曲线的方程；
(2)设、为双曲线实轴的左、右顶点，若过的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．

8 . 已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足．
(1)求双曲线的方程；
(2)设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上．

10 . 已知双曲线的左右焦点分别为，，M在C的右支上，的最大值为3，且当时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)若A，B是C上位于x轴上方上的两点，且，与交于点P，求证：为定值.