1 . 如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.
   
(1)求曲线的方程；
(2)一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.
①求证：不可能是钝角；
②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由.

2 . 如图，抛物线的焦点为F，准线为，交x轴于点A，并截圆所得弦长为，M为平面内动点，△MAF周长为6．
（1）求抛物线方程以及点M的轨迹的方程；
（2）“过轨迹的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交轨迹于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”.命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的焦点，的长度与、两点间距离的比值.试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明.
（3）试推广（2）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）.

3 . 已知抛物线：的焦点为，过作斜率为的直线交于，两点，以线段为直径的圆.当时，圆的半径为2.
（1）求的方程；
（2）已知点，对任意的斜率，圆上是否总存在点满足，请说明理由.

4 . 已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小，为坐标原点.
（1）过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点，求的面积；
（2）设为曲线上任意一点，点，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.

5 . 已知抛物线，过的直线与抛物线C交于两点，点A在第一象限，抛物线C在两点处的切线相互垂直.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P为抛物线C上异于的点，直线均不与轴平行，且直线AP和BP交抛物线C的准线分别于两点，.
（i）求直线的斜率；
（ⅱ）求的最小值.

6 . 已知，点在第一象限，以为直径的圆与轴相切，动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率为，求满足的点的个数.

7 . 已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.

8 . 已知抛物线：（）的焦点为，为上一动点，点，以线段为直径作.当过时，的面积为3.
（1）求的方程；
（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被所截得的弦长为定值？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.

9 . 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过点且斜率为2的直线与相切．
（1）求的标准方程；
（2）过的直线与交于两点，与轴交于点，证明：．

10 . 从抛物线上任意一点向轴作垂线段垂足为，点是线段上的一点，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与轨迹交于两点，点为轨迹上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点.问：轴正半轴上是否存在定点使得以为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.