1 . 已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，过的直线l交椭圆
于A、B两点，记原点为O．
(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长
；
(2)当
时，求直线l的方程；
(3)是否存在位于x轴上的定点
使得
始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？
、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O．(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长
；(2)当
时，求直线l的方程；(3)是否存在位于x轴上的定点
使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？
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2 . 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形
.带槽杆
长为
，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有
.点
在线段
的延长线上，且
.
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点
的轨迹的方程；
(2)过点的直线
与交于
两点.记直线
的斜率为
，证明：
为定值；
(3)过点作直线
垂直于直线，在上任取一点
，对于（2）中的两点，试证明：直线
的斜率成等差数列.
.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. (1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点
的轨迹的方程；(2)过点
的直线与交于两点.记直线的斜率为，证明：为定值；(3)过点
作直线垂直于直线，在上任取一点，对于（2）中的两点，试证明：直线的斜率成等差数列.
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2023-05-13更新
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405次组卷
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2卷引用：上海市晋元高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
名校
解题方法
3 . 已知椭圆
的左右焦点分别为，，
为上的动点.
(1)若
，设点
的横坐标为
，试用解析式将
表示成的函数；
(2)过点的直线
与的另一个交点为
，
为关于
轴的对称点，直线
与轴交于点
，求
关于
的表达式；
(3)试根据的不同取值，讨论满足
为等腰锐角三角形的点的个数.
的左右焦点分别为，，为上的动点.(1)若
，设点的横坐标为，试用解析式将表示成的函数；(2)过点
的直线与的另一个交点为，为关于轴的对称点，直线与轴交于点，求关于的表达式；(3)试根据
的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点的个数.
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名校
解题方法
4 . 如图，已知椭圆
的两个焦点为
，且为双曲线
的顶点，双曲线的离心率
，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线
的斜率分别为，且直线
和
与椭圆
的交点分别为和
.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线的斜率之积
为定值；
(3)求
的取值范围.
的两个焦点为，且为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为和.(1)求双曲线
的标准方程；(2)证明：直线
的斜率之积为定值；(3)求
的取值范围.
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2023-05-11更新
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577次组卷
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3卷引用：上海市松江二中2022-2023学年高二下学期期中数学试题
5 . 已知直线
，椭圆
.
(1)证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；
(2)已知点
，若P是椭圆C上任意一点，求
的取值范围.
，椭圆.(1)证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；
(2)已知点
，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围.
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2023-05-11更新
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450次组卷
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4卷引用：上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题山东省邹平市第一中学2023-2024学年高二上学期9月开学考试数学试题（已下线）第3课时 课中 直线与椭圆的位置关系（已下线）第1课时 课中 椭圆的标准方程
6 . 已知、分别为椭圆
的左、右焦点，M为上的一点.
(1)若点M的坐标为
，求
的面积；
(2)若点M的坐标为
，且直线
与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为
，过坐标原点O作圆
（其中r为定值，
且
）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为
，
.如果
为定值，求
的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.
、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.(1)若点M的坐标为
，求的面积；(2)若点M的坐标为
，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；(3)如图，设点M的坐标为
，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.
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2023-05-11更新
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1150次组卷
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4卷引用：上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市上海师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题湖南省岳阳市岳阳县2023届高三下学期新高考适应性测试数学试题（已下线）重难点突破12 双切线问题的探究（六大题型）（原卷版）-1福建省泉州市永春第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
7 . 已知椭圆
的左､右焦点分别为
.椭圆上有互异的且不在
轴上的三点
满足直线
经过，直线
经过.
(1)若椭圆的长轴长为4，离心率为
，求的值；
(2)若点
的坐标为
的面积
，求
的值；
(3)若
，直线
经过点
，求的坐标.
的左､右焦点分别为.椭圆上有互异的且不在轴上的三点满足直线经过，直线经过.(1)若椭圆
的长轴长为4，离心率为，求的值；(2)若点
的坐标为的面积，求的值；(3)若
，直线经过点，求的坐标.
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8 . 已知椭圆
：
的右焦点为
，过的直线
交于
，
两点.
(1)若直线垂直于轴，求线段的长；
(2)若直线与轴不重合，
为坐标原点，求
面积的最大值；
(3)若椭圆上存在点使得
，且
的重心
在轴上，求此时直线的方程.
：的右焦点为，过的直线交于，两点. (1)若直线
垂直于轴，求线段的长；(2)若直线
与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值；(3)若椭圆
上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程.
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2023-09-25更新
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517次组卷
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9卷引用：上海市青浦区2022届高考二模数学试题
上海市青浦区2022届高考二模数学试题（已下线）第16讲 圆锥曲线综合上海市奉贤区致远高级中学2023届高三下学期3月教学评估数学试题上海市同济大学第一附属中学2023届高三三模数学试题上海市同济大学第一附属中学2023届高三下学期5月月考（质控2）数学试题上海市文来中学2024届高三上学期期中数学试题（已下线）第10讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综合问题（定值问题） (精讲）（已下线）专题24 圆锥曲线中的存在性、探索性问题 微点3 圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练辽宁省沈阳市第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题
22-23高二下·上海浦东新·期中
名校
解题方法
9 . 已知椭圆
的离心率为
．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线
与椭圆交于两个不同点
、，以线段
为直径的圆经过原点，求实数
的值；
(3)设、为椭圆的左、右顶点，
为椭圆上除、外任意一点，线段
的垂直平分线分别交直线和直线
于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段
的长为定值．
的离心率为．(1)求椭圆
的方程；(2)若直线
与椭圆交于两个不同点、，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值；(3)设
、为椭圆的左、右顶点，为椭圆上除、外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，分别过点和作轴的垂线，垂足分别为和，求证：线段的长为定值．
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10 . 已知两点
、
，点
是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
倍后得到点
，且满足
．
(1)求动点所在曲线的轨迹方程；
(2)过点作斜率为
的直线，交（1）中的曲线于、两点，且满足：
（为坐标原点），试判断点是否在曲线上，并说明理由．
、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足．(1)求动点
所在曲线的轨迹方程；(2)过点
作斜率为的直线，交（1）中的曲线于、两点，且满足：（为坐标原点），试判断点是否在曲线上，并说明理由．
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