1 . 已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且.
(1)求的方程；
(2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由.

3 . 已知点F为双曲线的右焦点，过点F的直线（斜率为k）交双曲线右支于M，N两点，若线段的中垂线交x轴于一点P，则（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且虚轴长为2．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．

5 . 已知双曲线的离心率为，右焦点为．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点， 使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．

6 . 已知双曲线，其左、右顶点分别为，其离心率为，且虚轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)一动点与的连线分别与双曲线的右支交于，两点，且恒过双曲线的右焦点，求证：点在定直线上.

7 . 如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

   

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

8 . 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线的左､右支分别交于点（异于点），设直线的斜率分别为，若点）在双曲线上，证明为定值，并求出该定值.

9 . 已知双曲线的离心率为，虚轴长为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

10 . 已知双曲线：的焦距为，且焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.