1 . 已知是抛物线上位于第一象限的一点，且到的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为坐标原点，为的焦点，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最小值.

2 . 已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

3 . 已知直线的方向向量与直线的方向向量共线且过点；
(1)求的方程；
(2)若与抛物线交于点为坐标原点，设直线，直线的斜率分别是；求及的值.

4 . 在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若为定值，求实数λ的值．

5 . 已知椭圆（）的离心率为，且经过点

(1)求椭圆的方程；
(2)过作两直线与抛物线（m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线，的斜率分别为，
①求证：为定值；
②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

6 . 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，点，若直线的斜率分别为，则______．

7 . 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5.

(1)求与的值；
(2)过点作斜率存在的直线与拋物线交于两点（异于原点），为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由.

8 . 如图，点为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于，两点，点是的中点．

（Ⅰ）若点在抛物线的准线上，求抛物线的标准方程：
（Ⅱ）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于，两点，
（i）证明：点的横坐标是定值，并求出该定值：
（ii）当的面积最大时，求的值．

9 . 已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

10 . 已知函数，函数图象上有两动点、.
（1）用表示在点处的切线方程；
（2）若动直线在轴上的截距恒等于，函数在、两点处的切线交于点，求证：点的纵坐标为定值.