1 . 如图,M在椭圆C: 上,经过点P的直线交椭圆于E,F(E在F上方),直线MP交椭圆于N.
(1)求椭圆C的方程
(2)若直线的斜率为，求的值;
(3)若求直线的方程

2 . 若椭圆mx²+ny²=1与直线x+y=1交于A、B两点,点M为A、B的中点,直线OM的斜率为2(其中O为原点), ,则椭圆方程为_________

3 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

4 . 在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右顶点，离心率为,且椭圆过定点， 为椭圆右准线上任意一点，直线分别交椭圆于．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段与轴交于点且,求的取值范围．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．
（1）若，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

6 . 若曲线和曲线有三个不同的交点，则的取值范围是_________.

7 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点作直线，分别交椭圆和圆于相异两点.

（1）若直线的斜率为，求的值；
（2）若，求实数的取值范围.

8 . 设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；
（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．