1 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别是，为直线上一点（点在轴的上方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.

（1）若的面积是的面积的，求直线的方程；
（2）设直线与直线的斜率分别为，求证：为定值；
（3）若的延长线交直线于点，求线段长度的最小值.

2 . 已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，点与椭圆上点的最远距离为，过且斜率为的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积.

3 . 已知直线与椭圆交于两点（直线的斜率大于0），且，若的面积为，则直线的方程为__________．

4 . 已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围．

5 . 已知椭圆的左右顶点分别为，左焦点为，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与该椭圆交于两点，且线段的中点恰为点，且直线的方程；
（3）若经过点的直线与椭圆交于两点，记与的面积分别为和，求的取值范围．

6 . 已知椭圆上存在关于直线对称的相异两点，则实数的取值范围是____．

7 . 已知椭圆的离心率为，过右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则________．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆经过点，离心率为. 已知过点的直线与椭圆交于两点．

（1）求椭圆的方程；
（2）试问轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试数学试题】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率为，两条准线之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且的面积是的面积的倍，求直线的方程.

10 . 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点 是坐标平面内一点，且，（O为坐标原点）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率为k的动直线l交椭圆于AB两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.