1 . 已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围；
(3)若，设直线分别交轴于点，求的取值范围．

2 . 如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求的取值范围．

4 . 已知椭圆：的左焦点为，下顶点为，斜率为的直线经过点．
(1)若与直线垂直，求的方程；
(2)若直线与椭圆相交于不同的，，直线，分别与直线交于，且，求的取值范围．

5 . 已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围；
(3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围．

6 . 已知椭圆，过点作关于轴对称的两条直线，且与椭圆交于不同两点与椭圆交于不同两点，.

(1)已知经过椭圆的左焦点，求的方程；
(2)证明：直线与直线交于点;
(3)求线段长的取值范围.

7 . 已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于、两点．
(1)若直线，试求的面积；
(2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)如果，原点到直线的距离为，求的取值范围．

8 . 设椭圆E₁的长半轴长为a₁、短半轴长为b₁，椭圆E₂的长半轴长为a₂、短半轴长为b₂，若，则我们称椭圆E₁与椭圆E₂是相似椭圆．已知椭圆E：，其左顶点为A、右顶点为B．

(1)设椭圆E与椭圆F：是“相似椭圆”，求常数s的值；
(2)设椭圆G：，过A作斜率为k₁的直线l₁与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k₂的直线l₂与椭圆G只有一个公共点，求| 的值；
(3)已知椭圆E与椭圆H：是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x₀，y₁），且椭圆E上的点M（x₀，y₂）（）求证：AM⊥BC．

9 . 已知椭圆，短轴长为，左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的一个动点，面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围；
(3)过椭圆的左顶点A作直线轴，M为直线l上的动点，B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点Q．试判断数量积，是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不是定值，说明理由．

10 . 已知椭圆：的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于C，D两点，交y轴于点P，，，记，，的面积分别为S，，.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：为定值；
(3)若，当时，求实数范围.