1 . 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过一定点.并求出点的坐标.

2 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．求证：以线段为直径的圆恒过定点．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．

4 . 已知椭圆，过点作直线与椭圆交于、两点.
（1）若点平分线段，试求直线的方程；
（2）设与满足（1）中条件的直线平行的直线与椭圆交于、两点，与椭圆交于点，与椭圆交于点，求证：//.

5 . 已知椭圆的两个焦点为，，且经过点，一组斜率为的直线与椭圆都相交于不同两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：线段的中点都在同一直线上；
（3）对于（2）中的直线，设与椭圆交于两点，试探究椭圆上使三角形面积为的点有几个？证明你的结论．（不必具体求出点的坐标）

6 . 已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.

7 . 已知椭圆的左．右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形的边长为 的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点满足,连结,交椭圆于点．证明: 的定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问轴上是否存在异于点,的定点,使得以为直径的圆恒过直线,的交点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由．