1 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值．

2 . 已知椭圆的短轴长为4，离心率为．直线与椭圆交于两点，点不在直线l上，直线与交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线的斜率．

3 . 已知椭圆：，点，过点的直线与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)若直线的斜率为，求的面积；
(2)设直线和直线的斜率分别为和，求证：为定值.

4 . 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设为原点，点，过点的直线与的轨迹交于、两点，且直线与轴不重合，直线、分别与轴交于、两点，求证：为定值．

5 . 已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)求椭圆C的方程：
(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率.

7 . 已知椭圆，点在椭圆上，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任一点，为椭圆的左､右顶点，为中点，求证：直线与直线它们的斜率之积为定值；
（3）若椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，求证：直线与直线斜率之和为定值.

8 . 如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积.
（3）在（2）的条件下证明：为定值.

9 . 已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.
（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.

10 . 已知椭圆：，上下两个顶点分别为，，左右焦点分别为，，四边形是边长为的正方形，过作直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：四边形对角线交点的纵坐标与，两点的位置无关.