1 . 某学校即将参加一场重要的篮球比赛，通过比赛获得荣誉，不仅能为学校争光，也能为自己的高中生活增添一抹亮丽的色彩.现要从名学生中选出名组成代表队，其中名作为主力队员，名作为替补队员.设选出代表队的不同方法种数为.
(1)求出的的值（用组合数表示）；
(2)已知.当，时，记选出代表队的不同方法种数为，求；
(3)当为偶数时，求被4除的余数.

2 . 柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（       ）

A．该正八面体的外接球的体积为

B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为

C．甲能构成正三角形的概率为

D．甲与乙均能构成正三角形的概率为

5 . 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.
(1)计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：.

7 . 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________.

8 . 一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球．
(1)当时，求恰好取到3次红球的概率；
(2)X表示2n次取球中取到红球的次数，，求Y的数学期望（用n表示）.

9 . 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有

10 . 卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为

(1)证明是卡特兰数；
(2)求的通项公式．