1 . 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年提出；据考证，我国至迟在11世纪，北宋贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，x的系数为____________.

3 . 展开式中的常数项为________．

4 . 在 的展开式中，系数为有理数的项共有___项．

5 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数. 已知：，（，）

(1)若，，，求的值；
(2)若，，，求证：；
(3)设，求S除以2023的余数.

6 . （1）求的二项展开式中的常数项
（2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式）

7 . 已知，则的值为______．

8 . 已知数列的通项公式为．
(1)分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；
(2)求的二项展开式中的系数最大的项；
(3)记，求集合的元素个数（写出具体的表达式）．

9 . 在的展开式中，含项的系数是______.

10 . 在的二项展开式中，常数项是_____________（用数字作答）