名校
1 . 观察数列：①
；②正整数依次被4除所得余数构成的数列
；③
.
(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列
，如果________________，对于一切正整数都满足___________________成立，则称数列是以
为周期的周期数列；
(2)若数列满足
，
为的前项和，且
，求数列的周期，并求
；
(3)若数列的首项，
，且
，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论．
；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；③.(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列
，如果________________，对于一切正整数都满足___________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；(2)若数列
满足，为的前项和，且，求数列的周期，并求； (3)若数列
的首项，，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论．
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22-23高二上·上海·期中
解题方法
2 . 已知函数
的图象按向量
平移后得到
的图象，数列满足
（
且
）．
(1)若
，满足
，求证：数列
是等差数列；
(2)若，试判断数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；
(3)若
，试证明：
．
的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）．(1)若
，满足，求证：数列是等差数列；(2)若
，试判断数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；(3)若
，试证明：．
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2022-11-16更新
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746次组卷
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4卷引用：专题04 数列（10个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）
（已下线）专题04 数列（10个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）（已下线）高二下期中真题精选（压轴40题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）期中真题必刷压轴50题专练-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题1 数学归纳法及其变种 微点3 数学归纳法综合训练
3 . 数列对任意
，且，均存在正整数
，满足
.
(1)求
可能值；
(2)命题p：若
成等差数列，则
，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若
成立，求数列的通项公式.
对任意，且，均存在正整数，满足.(1)求
可能值；(2)命题p：若
成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：(3)若
成立，求数列的通项公式.
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4 . 对给定实数p，若数列满足以下三个条件：①
，
；②对任意正整数n，
；③对任意正整数m､n，
.则称数列为“
数列”.
(1)对前4项为2､
､0､2的数列，可以是
数列吗？说明理由；
(2)若是
数列，求
的值；
(3)是否存在常数p，使得存在数列，对任意正整数n，均满足
？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.
满足以下三个条件：①，；②对任意正整数n，；③对任意正整数m､n，.则称数列为“数列”.(1)对前4项为2､
､0､2的数列，可以是数列吗？说明理由；(2)若
是数列，求的值；(3)是否存在常数p，使得存在
数列，对任意正整数n，均满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由.
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解题方法
5 . 已知无穷数列满足
．其中
、
均为非负实数且不同时为
．
(1)若
，
，且
，求
的值；
(2)若
，
，求数列的前
项和；
(3)若
，
，求证：当
时，数列是单调递减数列．
满足．其中、均为非负实数且不同时为．(1)若
，，且，求的值；(2)若
，，求数列的前项和；(3)若
，，求证：当时，数列是单调递减数列．
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6 . 对于数列，若存在正数
，使得
对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
(1)已知
，
，且
，若数列和满足：
，
且
，
；
①若，求
的取值范围；
②求证：数列
是“拟等比数列”；
(2)已知等差数列
的首项为
，公差为
，前项和为，若
，
，
，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．
，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．(1)已知
，，且，若数列和满足：，且，；①若
，求的取值范围；②求证：数列
是“拟等比数列”；(2)已知等差数列
的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．
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解题方法
7 . 已知无穷数列满足
，
.
（1）若
；
（i）求证：
；
（ii）数列的前项和为且
，求证：
；
（2）若对任意的
，都有
，写出
的取值范围并说明理由.
满足，.（1）若
；（i）求证：
；（ii）数列
的前项和为且，求证：；（2）若对任意的
，都有，写出的取值范围并说明理由.
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解题方法
8 . 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：
，双曲余弦函数：
，（
是自然对数的底数）.
（1）解方程：
；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：
________，并证明；
（3）无穷数列
，，
，是否存在实数，使得
？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
，双曲余弦函数：，（是自然对数的底数）.（1）解方程：
；（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：
________，并证明；（3）无穷数列
，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
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9 . 已知集合
，若
且
，则称
为集合生成的一个“交错数”，所有“交错数”组成的集合
称为集合
生成的交错集
（1）写出集合
生成的交错集；
（2）若集合
，求证：集合的交错数各不相同；
（3）无穷数列的前项和为，且对任意
都有
.记
，判断集合生成的交错集与正整数集
的关系，并说明理由.
，若且，则称 为集合生成的一个“交错数”，所有“交错数”组成的集合称为集合生成的交错集（1）写出集合
生成的交错集；（2）若集合
，求证：集合的交错数各不相同；（3）无穷数列
的前项和为，且对任意都有.记，判断集合生成的交错集与正整数集的关系，并说明理由.
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解题方法
10 . 已知
为正整数，各项均为正整数的数列满足：
，记数列的前项和为．
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求的值；
（3）若
为奇数，求证：“
”的充要条件是“
为奇数”．
为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为．（1）若
，求的值；（2）若
，求的值；（3）若
为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”．
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