1 . 已知，．
(1)求在处的切线方程；
(2)求证：对于和，且，都有；
(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．

2 . 设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.
（1）请将7和10表示为“交错和”；
（2）若正整数可以表示为“交错和”，求证：；
（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.

4 . 已知．
(1)设展开式中项的系数为，求；
(2)设展开式中项的系数为，求证；
(3)是否存在常数使对一切恒成立？

6 . 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
已知集合A为有理数集Q的一个子集，且满足以下条件：
①且；
②对任意的，存在唯一的，满足，其中，表示不超过y的最大整数；
③若，，则.
证明：
(1)；
(2)对任意的，对每一个整数，都有；
(3).

7 . 甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据）
(2)现单独研究棱长，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为.
①若，对成立，求实数，，的值；
②对①中的实数，，用数字归纳法证明：对任意且，都成立.