1 . 设集合为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．
(1)若，求的一个二阶划分，使得；
(2)若．求证：不存在的二阶划分满足；
(3)若为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．

2 . 对任意实数，记为不大于的最大整数，再记，由此可定义函数，进而可定义递推数列.

(1)求的定义域，并判断是否有反函数(只需写出判断结果，无需说明理由).
(2)求证：①的每一项都是正有理数；②的任意两项均不同.
(3)为进一步研究各项的取值情况，有人把该数列排成了下述的“二分树状表”，并探究了图中由箭头连接的两数间的关系，进而猜想“的各项取遍所有正有理数”.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.

3 . 已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：
①；
②，其中．
(1)若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；
(2)当时，若，求证：；
(3)当时，若，求证：．

6 . 已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．
(1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．

8 . 若数列的前项和为，且满足等式.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：.

9 . 对，定义．
（1）求的最小值；
（2），有恒成立，求A的最大值；
（3）求证：不存在，且m＞n，使得为恒定常数．