1 . 设数列满足，且对任意整数是最小的不同于的正整数，使得与互质，但不与互质.证明：每个正整数都在中出现.

2 . 对于函数，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“和谐点”，函数的“不动点”和“和谐点”的集合分别为M，N即．
(1)求证：；
(2)若为单调递增时，是否有？并证明；
(3)若，且，求实数a最大值与最小值的积．

4 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，是的中点.

(1)若二面角的平面角的余弦值为.
（i）求侧面的面积；
（ii）求与平面所成角的正弦值.
(2)直线与平面能否垂直？给出结论，并给予证明.

5 . 已知正项数列，其前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.

6 . （1）已知且，求证：与中至少有一个小于3.
（2）用数学归纳法明：对一切，.

7 . 对于正整数与实数，，…，，记.
（1）若，求，的取值范围；
（2）当时，判断:是否存在实数，，…，，使得成立.若存在，请求出任意一组，，…，的值；若不存在，请说明理由.

8 . （1）已知，为正实数，用分析法证明：.
（2）若，，均为实数，且，，，用反证法证明：中至少有一个大于0.

9 . 已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．

10 . 设，且，，，用反证法证明：至少有一个大于．