【推荐1】已知数列{a_n}是以d为公差的等差数列，{b_n}数列是以q为公比的等比数列．
（1）若数列{b_n}的前n项和为S_n，且a₁＝b₁＝d＝2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂﹣2010，求整数q的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列中是否存在一项b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；
（3）若b₁＝a_r，b₂＝a_s≠a_r，b₃＝a_t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），求证：数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

【推荐2】已知函数，无穷数列满足.
（1）若，求；
（2）若，且，成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知数列的前n项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36.
（1）当n为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当n为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求该数列的前n项和；
（2）设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数l、，使得、、成等差数列？若存在，求出l、m（用k表示），若不存在，请说明理由.

【推荐1】设公差不为0的等差数列的首项为1，且，，构成等比数列．
求数列的通项公式，并求数列的前n项和为；
令，若对恒成立，求实数t的取值范围．

【推荐2】在等差数列与正项等比数列中，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，，求数列的前项和，并求取得最小值时的值．

【推荐3】已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式.
(2)已知，求数列的前2n项和.
(3)求证：.

【推荐1】已知数列的通项为，前项和为，且是与的等差中项，数列中，，点在直线上.
（1）求数列、的通项公式、；
（2）设的前项和为，试比较与的大小；
（3）设，若对一切正整数，恒成立，求的最小值.

【推荐2】已知函数 ．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；
（3）求证：．

【推荐3】已知数列的前n项和满足（，），且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设是数列的前n项和，证明：.

【推荐1】已知数列，若对任意，都有成立，则称数列为“差增数列”．
（1）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由；
（2）若数列为“差增数列”，且，，对于给定的正整数m，当，项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合；
（3）若数列为“差增数列”，，且，证明:．

【推荐2】若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②若对于给定的正整数，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．

(1)已知，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，，成等差数列，证明：是等差数列．

【推荐3】已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；
（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.