【推荐1】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为−．记M的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程
（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于两点．
①求证：；
②求的最大值．

【推荐2】已知O为坐标原点，，，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积为.记点G的轨迹为曲线C.
（1）若射线与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：.
（2）直线与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点.试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知一张纸上画有半径为的圆，在圆内有一个定点，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线为．
(1)若曲线的焦点在轴上，求其标准方程；
(2)在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点，且，（为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)在（1）的条件下，是曲线上异于上顶点、下顶点的任一点，直线分别交轴于点，若直线与过点的圆相切，切点为，证明：线段的长为定值，并求出定值．

【推荐1】已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设的中点分别为．

(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值．

【推荐2】设椭圆的左右焦点为，，过椭圆右焦点的直线l和椭圆C相交于E、F两点，的周长为8，若P是椭圆上一个动点，且的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）四边形MNAB的四个顶点均在椭圆C上，且，轴，若直线MN和直线AB交于点，问：四边形MNAB的对角线交点D是否是定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的左顶点为，动直线与椭圆w交于不同的两点（不与点A重合），点A在以为直径的圆上，点P关于原点O的对称点为M．
（Ⅰ）求椭圆w的方程及离心率；
（Ⅱ）求证：直线过定点；
（Ⅲ）（i）求面积的最大值；
（ii）若为直角三角形，求直线的方程．

【推荐1】已知椭圆E的方程为（），，分别为椭圆的左右焦点，A，B为椭圆E上关于原点对称两点，点M为椭圆E上异于A，B一点，直线和直线的斜率和满足：.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过作直线l交椭圆于C，D两点，且（），求面积的取值范围.

【推荐2】已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点．

(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积．

【推荐3】椭圆短轴的上下两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，交椭圆于两点．
(1)若，求直线l的方程；
(2)设直线的斜率分别为，，若，求的值．