【推荐1】已知集合，对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．
（I）若，试写出所有可能的A，B；
（II），证明：
（i）；
（ii）三个数中至少有一个是偶数；
（III）设，中有m（，且为奇数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为，证明：．

【推荐2】已知数集具有性质：对任意的
、，，与两数中至少有一个属于．
（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：，且；
（3）当时，若，求集合．

【推荐3】整数，集合，A，B，C是集合P的3个非空子集，记，为所有满足，的有序集合对的个数．
（1）求；
（2）求．

【推荐2】已知点，点，分别为椭圆的左右顶点，直线交于点，是等腰直角三角形，且．
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点，为坐标原点．当为直角时，求直线的斜率．

【推荐1】已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n＝，正项数列{b_n}满足b₁＝1，b_n+1²﹣1＝4b_n（b_n+1）（n∈N^*）.
（1）分别求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式.
（2）若数列{c_n}满足c_n﹣3ⁿ＝（﹣1）^n﹣1•λ（b_n+1）（λ为非零常数），是否存在整数λ，使得对任意（n∈N^*），都有c_n+1＞c_n，若存在，求出整数λ的值，若不存在，请说明理由.
（3）在数列{b_n}的任意相邻两项b_k与b_k+1之间插入k个（﹣1）^ka_k后，得到一个新数列{d_n}，求数列{d_n}的前2019项的和.

【推荐2】在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上．过作平行于x轴的直线，与交于点，再过点作平行于y轴的直线，与交于点．
(1)若，请直接写出，的值；
(2)若，求证：是等比数列；
(3)若，求证：．

【推荐3】已知正项数列满足， ,.
（1）求证：与同号，且；
（2）求证： ，.；
（3）求证：，.

【推荐1】设，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.
（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.
①1，3，5，7，9，11；
②2，，，，.
（2）证明：若，则数列为“弱等差数列”.
（3）对任意给定的正整数，若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由

【推荐2】设二次函数（，），关于的不等式的解集中有且只有一个元素.
（1）设数列的前项和（），求数列的通项公式；
（2）设（），则数列中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由.

【推荐3】已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的前项和；
（2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，；若不存在，说明理由；
（3）设，若对一切正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.