【推荐1】如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为__________．

【推荐2】法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为______.

【推荐3】赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则的值为______.

【推荐1】中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则面积的最大值是__________．

【推荐2】在中，，，成等比数列，则的取值范围是__________．

【推荐3】在中，，，当取最大值时，__________．